Question

19．如图a所示，一物体以一定的速度v₀沿足够长斜面向上运动，此物体在斜面上的最大位移与斜面倾角的关系由图b中的曲线给出．设各种条件下，物体运动过程中的动摩擦因数不变，取g=10m/s²．
（1）求物体初速度的大小和物体与斜面之间的动摩擦因数；
（2）当θ=60°时，物体到达最高点后，又回到出发点时，物体速度为多少？
（3）试确定θ多大时，x值最小，最小值为多少？

Answer 1

分析 （1）根据速度位移公式，结合 牛顿第二定律，抓住θ=90°和0°时对应的位移求出物体与斜面间的动摩擦因数和物体的初速度大小．
（2）先求出α=60°时物体上升的高度，根据牛顿第二定律求出上升和下落时的加速度，再根据位移速度公式求出物体返回时的速度．
（3）对运动过程运用动能定理求出x的表达式，结合数学三角函数求极值的方法确定X值最小时，倾角的大小．

解答 解：（1）由图可知当α=90°时，x=$\frac{5}{4}$=1.25m，此时物体做竖直上抛运动，加速度为-g
则有：0-v02=-2gx
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gx}$=5m/s
当θ=0度时，有：${x}_{0}=\frac{5}{4}\sqrt{3}$m，
根据牛顿第二定律得：μmg=ma₁
${v}_{0}^{2}=2{a}_{1}{x}_{0}$
代入数据解得：$μ=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）当α=60°时，根据牛顿第二定律得：a₁=gsin60°+μgcos60°=$\frac{20\sqrt{3}}{3}m/{s}^{2}$
所以最大位移为$x=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$m
返回时加速度a₂=gsin60°-μgcos60°=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$m/s²．
则返回到出发点的速度$v=\sqrt{2{a}_{2}x}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}m$/s
（3）对于任意一角度，利用动能定理得对应的最大位移为x₁满足关系式：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg{x}_{1}sinθ+μmg{x}_{1}cosθ$，
得：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{x}{sinθ+μcosθ}$=$\frac{x}{\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+∅）}$，
可知当x的最小值为：${x}_{1}=\frac{x}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$  解得：h=1.08m．即sin（θ+∅）=1，μ=tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：$∅=\frac{π}{6}$，
对应的角度为：θ=$\frac{π}{2}-∅$=$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$．
答：（1）物体初速度的大小和物体与斜面之间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）当θ=60°时，物体到达最高点后，又回到出发点时，物体速度为$\frac{5\sqrt{2}}{2}m/s$．
（3）试确定θ为$\frac{π}{3}$时，x值最小，最小值为1.08m．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，注意数学中三角函数公式的应用，难度不大．