Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图7-5-4所示.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.

图7-5-4

（1）可见星A所受暗星B的引力F_a可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m′（用m₁、m₂表示）；

（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v＝2.7×10⁵ m/s，运行周期T＝4.7π×10⁴ s，质量m₁＝6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗.（G＝6.67×10^-11 N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰ kg）

Answer 1

解析：（1）本题综合考查万有引力定律、圆周运动、向心力公式、牛顿第二定律等知识.A、B绕着共同的圆心做半径不同的匀速圆周运动，它们之间的万有引力互为对方的向心力.解题时要抓住它们具有相同的角速度这一条件，然后利用万有引力充当向心力，分别研究A、B就可计算，得出结果.在第三问判断中，要充分利用好“如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞”这一条件.

设A、B圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有

F_A=m₁ω²r₁  F_B=m₂ω²r₂

F_A=F_B

设A、B之间的距离为r，又r=r₁+r₂，由上述各式得r=                     ①

由万有引力定律，有F_A=

将①代入得F_A=，令F_A=

比较可得m′=.                                                      ②

（2）由牛顿第二定律，有                                       ③

又可见星A的轨道半径r₁=                                                  ④

由②③④式解得.                                           ⑤

（3）将m₁=6m_s

代入数据得=3.5m_s                                                 ⑥

设m₂=nm_s(n＞0)，将其代入⑥式，得=3.5m_s                      ⑦

可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得=0.125m_s＜3.5m_s ⑧

若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m_s，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.