Question

（2011?兖州市三模）如图1所示，两金属板间接有如图2所示的随时间t变化的电压U，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场，极板长L=0.2m，板间距离d=0.2m，在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场，MN与两板中线OO′垂直，磁感应强度B=5×10^-3T，方向垂直纸面向里，现有带正电的粒子流沿两板中线OO′连续射入电场中，已知每个粒子的速度υ₀=10⁵m/s，比荷q/m=10⁸C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的．

（1）试求两板间加上多大电压时才能使带电粒子刚好从极板边缘射出电场；
（2）试求带电粒子离开电场时获得的最大速度；
（3）证明任意时刻从电场射出的带电粒子，进入磁场时在MN上的入射点和出磁场时在MN上的出射点间的距离为定值：
（4）从电场射出的带电粒子，进入磁场运动一段时间后又射出磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间．

Answer 1

分析：（1）将带电粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，水平方向为匀速运动，竖直方向为初速度为零的匀加速运动，根据运动学公式列式求解；
（2）带电粒子从平行板边缘射出时，电场力做功最多，获得的动能最大，根据动能定理列式求解；
（3）经过电场偏转后，粒子速度向上偏转或向下偏转，画出可能的两种轨迹图，根据洛伦兹力提供向心力得到轨道半径，通过几何关系得到向上偏转的距离表达式进行分析；
（4）粒子从上边缘进入磁场在磁场中运动时间最短，粒子从下边缘进入磁场在磁场中运动时间最长，根据周期公式求解．

解答：解：（1）设两板间电压为U₁时，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，
则有

d

2

=

1

2

at2=

1

2

×

U1q

dm

(

L

υ0

)2
代入数据，解得：U₁=100V
即两板间加上100V电压时才能使带电粒子刚好从极板边缘射出电场．
（2）粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为υ₁
则有：

1

2

mυ12=

1

2

mυ02+q?

U1

2

解得：υ1=

2

×105m/s=1.414×105m/s
带电粒子离开电场时获得的最大速度为1.414×10⁵m/s．
（3）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，其可能的两种轨迹如图；

设粒子进入磁场时速度方向与OO'夹角为α，
则速度大小υ=

v0

cosα

粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R=

mυ

qB

=

mυ0

qBcosα

粒子从磁场中飞出的位置与进入磁场的位置之间的距离s=2Rcosα=

2mυ0

qB

代入数据，解得s=0.4m，s与α无关，
即射出电场的任何一个带电粒子进入磁场的入射点与出射点间距离恒为定值．
（4）粒子飞出电场进入磁场，在磁场中按逆时针方向做匀速圆周运动．
粒子飞入电场时的速度方向与OO'的最大夹角为α，
cosα=

υ0

υ1

=

2

2

，α=45°
当粒子从下板边缘飞出电场再进入磁场时，在磁场中运动时间最长，
tmax=

3T

4

=

3πm

2qB

=3π×10^-6s=9.42×10^-6s
当粒子从上板边缘飞出电场再进人磁场时，在磁场中运动时间最短
tmin=

T

4

=

πm

2qB

=π×10-6s=3.14×10-6s
故粒子在磁场中运动的最长时间为9.42×10^-6s，最短时间为3.14×10^-6s．

点评：本题关键是画出粒子进入磁场后的各种可能的运动轨迹，根据洛伦兹力提供向心力列式后得出半径和周期，然后求出磁偏转的距离表达式，并得出回旋角度的范围，从而得到磁偏转的范围和运动时间的范围．