Question

如图，水平地面和半圆轨道面均光滑，质量M＝1kg的小车静止在地面上，小车上表面与m的半圆轨道最低点P的切线相平。现有一质量m＝2kg的滑块（可视为质点）以＝6m/s的初速度滑上小车左端，二者共速时小车还未与墙壁碰撞，当小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ＝0.2，g取10m/s²．
小题1:求小车的最小长度。
小题2:讨论小车的长度L在什么范围，滑块能滑上P点且在圆轨道运动时不脱离圆轨道？

Answer 1

小题1:
小题2:或<7m 

（1）设滑块与小车的共同速度为v₁，滑块与小车相对运动过程中动量守恒，有：
 ……………………………………………………………（2分）
代入数据解得：  …………………………………………………（2分）
设小车的最小长度为L₁，由系统能量守恒定律，有：
 ……………………………………………（2分）
代入数据解得： ………………………………………………………（2分）
（2）设小车与墙壁碰撞时，滑块与P点的距离为L₂，若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速度为v，临界条件为：
 …………………………………………………………………①（2分）
根据动能定理，有：
 ……………………………………②（1分）
①②联立并代入数据解得：L₂="1m  " ………………………………………………………（1分）
这种情况下小车的长度为：m 
若滑块恰好滑至圆弧到达Ｔ点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．
根据动能定理，有：
 …………………………………………（1分）
代入数据解得： m       ………………………………………………（1分）
这种情况下小车的长度为：m  
若滑块滑至P点时速度恰好为零，由动能定理，有：
  ………………………………………………………………（1分）
解得：m       ………………………………………………………………（1分）
这种情况下小车的长度为：m 
综上所述，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径必须满足：
或<7m              …………………………………（2分）