Question

如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为d，导轨平面与水平面的夹角α=30°，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为d的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R．两金属导轨的上端连接右侧电路，灯泡的电阻R₁=3R，电阻箱电阻调到R′=6R，重力加速度为g．现闭合开关S，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F=mg的恒力，使金属棒由静止开始运动．
（1）求金属棒达到最大速度的一半时的加速度．
（2）若金属棒上滑距离为L时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑4L的过程中，金属棒上产生的电热．
（3）若改变R′的阻值，当R′为何值时，在金属棒达到最大速度后，R′消耗的功率最大？消耗的最大功率为多少？

Answer 1

分析：（1）金属棒由静止开始先加速度减小的加速运动后做匀速运动时，速度达到最大，根据平衡条件和E=BLv_m、I=

E

R+r

、F_安=BIL结合求出最大速度v_m．当金属棒达到最大速度的一半时，先求出安培力，再由牛顿第二定律求出加速度a．
（2）由题，金属棒达到最大速度时，根据能量守恒定律求出金属棒上产生的电热．
（3）运用P=I²R，结合电路的连接关系得到R′消耗的功率与R′的关系式，运用数学知识求解功率最大值及应满足的条件．

解答：解：（1）金属棒在图所示各力作用下，先做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，金属棒达到最大速度，此后开始做匀速直线运动．设最大速度为v_m，金属棒达到最大速度的一半时的加速度为a，则速度达到最大时有
  F=IdB+mgsinα            
根据闭合电路欧姆定律得：I=

Bdvm

R总

                                   
整个电路的总电阻为 R_总=R+

R′RL

R′+RL

=3R                    
由以上各式解得：v_m=

3mgR

2B2d2

                      
金属棒达到最大速度的一半时，由牛顿第二定律有
  F-I_串dB-mgsinα=ma                       
又 I_串=

Bdvm

2R总

=

I

2

解得：a=

g

4

                                
（2）设整个电路放出的电热为Q，由能量守恒定律有：
  F?4L=Q+mgsinθ?L+

1

2

m

v

2 m

代入上面的v_m值，可得：Q=2mgL-

9m3g2R2

8B4d4

              
因

R

R总

=

1

3

故金属棒放出的电热Q_棒=

1

3

Q=

2

3

mgL-

3m3g2R2

8B4d4

         
（3）R′上消耗的功率P′=I′²R′
并联部分的电阻为 R_并=

R′RL

R′+RL

=

3RR′

R′+3R

又 I′R′=IR_并
I′=

3R

3R+R′

I=

3Rmg

2(3R+R′)Bd

                      
则得：P′=

m2g2

4B2d2

?

9R2R′

(3R+R′)2

=

m2g2

4B2d2

?

9R2

9R2 R′ +6R+R′

                         
根据数学知识得知，当

9R2

R′

=R′即R′=3R时，上式分母最小，R′消耗的功率最大，为  P′_m=

3m2g2R

16B2d2

．
答：（1）金属棒达到最大速度的一半时的加速度为

g

4

．
（2）金属棒由静止开始上滑4L的过程中，金属棒上产生的电热为

2

3

mgL-

3m3g2R2

8B4d4

．
（3）若改变R′的阻值，当R′=3R时，在金属棒达到最大速度后，R′消耗的功率最大，消耗的最大功率为

3m2g2R

16B2d2

．

点评：本题是电磁感应与力学知识的综合，其桥梁是安培力，要学会推导安培力的表达式，分析棒的运动情况，根据牛顿第二定律和能量守恒处理这类问题．关键要会运用数学上函数法求功率的最大值．