Question

（2013?怀远县模拟）如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长木板，长木板上有一质量为m的小物块，它与长木板间的动摩擦因数为μ．开始时，长木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，某时刻它们以共同的速度v₀向右运动，当长木板与右边的固定竖直挡板碰撞后，其速度的大小不变、方向相反，以后每次的碰撞均如此．设左右挡板之间的距离足够长，且M＞m．
（1）要想物块不从长木板上落下，则长木板的长度L应满足什么条件？
（2）若上述条件满足，且M=2kg，m=1kg，v₀=10m/s，求整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能．

Answer 1

分析：（1）由于小物块与长木板存在摩擦力，系统的机械能不断减少，所以小物块第一次与挡板碰撞后两者相对速度最大，第1次小物块若不能从长木板上掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物块恰好不从木板上掉下时，两者速度相同，而且物块恰好滑到木板的另一端，根据动量守恒定律求出第一次碰撞后两者的共同速度，由能量守恒定律求出长木板的长度L最小值．
（2）根据动量守恒定律求出4次碰撞后物块与木板的共同速度，寻找规律，再求解整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能．

解答：解：（1）设第1次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v₁，第n次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v_n．每次碰撞后，由于两挡板的距离足够长，物块与长木板都能达到相对静止，第1次若不能掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．由动量守恒定律和能量守恒定律有：
   （M-m）v₀=（M+m）v₁
  μmgs=

1

2

（m+M）v₀²-

1

2

（M+m）v₁²
解得：s=

2M v 2 0

μ(M+m)g

故L应满足的条件是：L≥s=

2M v 2 0

μ(M+m)g

（2）第2次碰撞前有：
（M-m）v₀=（M+m）v₁   
第3次碰撞前有：（M-m）v₁=（M+m）v₂
第n次碰撞前有：（M-m）v_n-2=（M+m）v_n-1
所以v_n-1=（

M-m

M+m

）^n-1v₀
则第5次碰撞前有：v₄=（

M-m

M+m

）⁴v₀
故第5次碰撞前损失的总机械能为：△E=

1

2

（M+m）v₀²-

1

2

（M+m）v₄²
代入数据解得：△E=149.98J．
答：
（1）要想物块不从长木板上落下，长木板的长度L应满足的条件是：L≥

2M v 2 0

μ(M+m)g

．
（2）整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能是149.98J．

点评：本题采用数学归纳法研究多次碰撞过程遵守的规律，考查分析和处理复杂运动过程的能力．