Question

如图，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于x y平面向外．P是y轴上距原点为h的一点，N₀为x轴上距原点为a的一点．A是一块平行于x轴的挡板，与x轴的距离为

h

2

，A的中点在y轴上，长度略小于

a

2

．带电粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不变．质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从P点瞄准N₀点入射，最后又通过P点．不计重力．
（1）若粒子从P点射出的速率为v，求粒子在磁场中运动的轨道半径R；
（2）求粒子从N₀点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间．（可用反三角函数表示）
（3）求粒子入射速度的所有可能值．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道半径R．
（2）画出轨迹，由几何知识确定轨迹的圆心角，求出子从N₀点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间．
（3）若粒子能回到P点，由对称性，出射点的x坐标应为-a，设粒子最终离开磁场时，与档板相碰n次，列出n与a的关系式，得到速度的通项，然后结合粒子与挡板发生碰撞的条件，得到特殊值．

解答：解：（1）当粒子的入射速度为v时，粒子在磁场中运动的轨道半径为R，
         由qvB=m

v2

R

     ①
         得轨道半径R=

mv

qB

②
   （2）如图所示，第一次射出磁场的点为N′，粒子与A板碰撞后再次进入磁场的位置为N₁．
          sinθ=

PO

PN0

=

h

a2+h2

③
        粒子作匀速圆圆运动的周期为T=

2πR

v

=

2πm

qB

④
        则粒子从N₀点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间为
              t=

2π-2θ

2π

T=

π-θ

π

?

2πm

qB

=

2m

qB

（π-arcsin

h

a2+h2

）⑤
   （3）粒子与A板碰撞后再次进入磁场的位置为N₁．粒子速率不变，每次进入磁场与射出磁场位置间距离x₁保持不变，有
              x₁=N₀′N₀=2Rsinθ⑥
       粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x₂始终不变，与N₀′N₁相等．
       由图可以看出：x₂=a⑦
     设粒子最终离开磁场时，与档板相碰n次（n=0、1、2、3…）．若粒子能回到P点，由对称性，
   出射点的x坐标应为-a，
       即（n+1）x₁-nx₂=2a ⑧
由⑦⑧两式得x₁=

n+2

n+1

a ⑨
若粒子与挡板发生碰撞，有x₁-x₂＞

a

4

⑩
联立⑦⑨⑩得 n＜3  
联立②⑥⑨得v=

qB

2msinθ

?

n+2

n+1

a
把sinθ=

h

a2+h2

代入上式中得
当n=0，v₀=

qBa a2+h2

mh

当n=1，v₁=

3qBa a2+h2

4mh

当n=2，v₂=

2qBa a2+h2

3mh

答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R=

mv

qB

．
    （2）粒子从N₀点射入磁场到第一次穿出磁场所经历的时间为

2m

qB

（π-arcsin

h

a2+h2

）．
    （3）粒子入射速度的可能值为

qBa a2+h2

mh

，

3qBa a2+h2

4mh

，

2qBa a2+h2

3mh

．

点评：本题关键在于画出粒子运动的轨迹，根据几何关系得到速度的通项．要充分利用对称性．