Question

如图（a）所示，两平行金属板相距为d，加上如图（b）所示的方波形电压，电压的最大值为U₀，周期为T．现有重力可忽略的一束离子，每个离子的质量为m，电量为q，从与两板等距处的O点，沿着与板平行的方向连续地射入两板中．已知每个离子通过平行板所需的时间恰为T（电压变化周期）且所有离子都能通过两板间的空间，打在两金属板右端的荧光屏上，试求：

（1）离子打在荧光屏上的位置与O′点的最小距离；
（2）离子打在荧光屏上的位置与O′点的最大距离．

Answer 1

（1）t=（nT+

T

2

）（n=0，1，2，…）时刻进入的离子，前

1

2

T时间内作匀速直线运动，后

1

2

T时间内作类平抛运动，位移最小，最小位移为：
y_min=

1

2

at2=

1

2

?

qU0

md

?(

T

2

)2=

qU0T2

8md

；
（2）t=nT（n=0，1，2，…）时刻进入的离子，前

1

2

T时间内作类平抛运动，后

1

2

T时间内作匀速直线运动，位移最大，最大位移为：
y_max=y₁+y₂；
其中：类平抛运动的竖直分位移大小为 y₁=y_min=

qU0T2

8md

；
而经过前

1

2

T时间后竖直分速度大小为 v_y=a?

1

2

T=

qU0

md

?

T

2

=

qU0T

2md

，
匀速直线运动的竖直分位移大小为 y₂=v_y?

1

2

T=

qU0T2

4md

所以y_max=y₁+y₂=

qU0T2

8md

+

qU0T2

4md

=

3qU0T2

8md

；
答：
（1）离子打在荧光屏上的位置与O′点的最小距离为

qU0T2

8md

；
（2）离子打在荧光屏上的位置与O′点的最大距离为

3qU0T2

8md

．