Question

如图所示，长L=9m的传送带与水平方向的傾角θ=37°，在电动机的带动下以υ=4m/s的速率顺时针方向运行，在传送带的B端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住，在传送带的A端无初速地放一质量m=1kg的物块，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，物块与挡板的碰撞能量损失及碰撞时间不计．（g=10m/s²，sin37°=0.6）求：
（1）物块从第一次静止释放到与挡板P第一次碰撞后，物块再次上升到传送带的最高点的过程中，因摩擦生的热；
（2）物块最终的运动状态及达到该运动状态后电动机的输出功率．

Answer 1

（1）物块从A点由静止释放，物块相对传送带向下滑，物块沿传送带向下加速运动的速度
a1=gsinθ-μgcosθ=2m/s2
与P碰前的速度v1=

2a1L

=6m/s
物块从A到B的时间t1=

v1

a

=3s
在此过程中物块相对传送带向下位移s₁=L+vt₁=21m
物块与挡板碰撞后，以v₁的速度反弹，因v₁＞v，物块相对传送带向上滑，物块向上做减速运动的加速度为a2=gsinθ+μgcosθ=10m/s2
物块速度减小到与传送带速度相等的时间t2=

v1-v

a2

=0.2s
在t₂时间内物块向上的位移l1=

v1+v

2

t2=1m
物块相对传送带向上的位移s₂=l₁-vt₂=0.2m
物块速度与传送带速度相等后物块相对传送带向下滑，物块向上做减速运动的加速度
a3=gsinθ-μgcosθ=2m/s2
物块速度减小到零的时间t3=

v

a3

=2s
物块向上的位移l2=

v

2

t3=4m
此过程中物块相对传送带向下的位移s₃=vt₃-l₂=4m
摩擦生热Q=μmgcosθ（s₁+s₂+s₃）=100.8J
答：因摩擦生的热为100.8J．
（2）物块上升到传送带的最高点后，物块沿传送带向下加速运动，与挡板P第二次碰撞前的速度v2=

2a1(l1+l2)

=

20

m/s
碰后因v₂＞v，物块先向上做加速度为a₂的减速运动，再做加速度为a₃的减速运动，物块向上的位移为l3=

v22-v2

2a2

+

v2

2a3

=4.2m
物块与挡板第三次碰撞前的速度v3=

2a1l3

=2

4.2

m/s
在此类推经过多次碰撞后物块以v=4m/s的速度反弹，故最终物块在P与离P4m的范围内不断做向上的加速度为2m/s²的减速运动和向下做加速度为2m/s²的加速运动，物块的运动达到这一稳定状态后，物块对传送带有一与传送带运动方向相反的阻力
F_f=μmgcosθ
故电动机的输出功率P=μmgcosθgv=16W
答：最终物块在P与离P4m的范围内不断做向上的加速度为2m/s²的减速运动和向下做加速度为2m/s²的加速运动，电动机的输出功率为16W．