Question

（2009?黄冈模拟）如图为回旋加速器示意图，其中置于高真空中的金属D形盒的半径为R，两盒间距为d，在左侧D形盒圆心处放有粒子源S，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示．质子质量为m，电荷量为q．设质子从粒子源S进入加速电场时的初速度不计，加速质子时的电压恒为U，质子在电场中运动时，不考虑磁场的影响．求：
（1）质子能达到的最大速度；
（2）通过计算说明当R＞＞d时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的总时间可忽略不计；
（3）若D形盒内存在的磁场磁感应强度周期递增，质子便可在电场中加速，而绕行半径不变．为使质子绕行半径恒为R₀，求：质子第i次进入磁场时磁感应强度B_i及质子从开始运动到第i次进入磁场时所用的总时间t₀（i＞1，不计质子在电场中加速的时间）．

Answer 1

分析：（1）根据洛伦兹力提供向心力求出轨道半径的大小，当半径等于D形盒的半径时，速度最大．
（2）粒子在电场中做匀加速直线运动，结合匀变速直线运动的平均速度公式求出在电场中加速的时间，结合粒子在磁场中运行的周期，求出粒子在磁场中的运行时间，通过比值的方法证明当R＞＞d时，质子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的总时间可忽略不计；
（3）根据动能定理求出粒子第i次进入磁场时的速度，结合半径公式求出磁感应强度的通项表达式，通过粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出质子第i次在磁场中的绕行时间，从而根据数学方法求出粒子从开始运动到第i次进入磁场时所用的总时间．

解答：解：（1）质子在磁场中作圆周运动，根据qvB=m

v2

r

得，半径r=

mv

qB

，①
当r=R时有最大速度vm=

qBR

m

②
（2）设质子在电场中经n次加速后，速度达到v_m，加速的时间为t₁，从电场对质子速率改变的角度可将质子在电场中的运动等效为匀加速直线运动，有：
质子在电场中的平均速度为

.

v

=

0+vm

2

，③
可得：t1=

2nd

vm

④
设质子在磁场中作圆周运动的周期为T，运动时间为t₂，有：T=

2πm

qB

⑤
t2=

n

2

T⑥
由②-⑥可得：

t1

t2

=

2d

πR

即当R＞＞d时，t₁＜＜t₂，故在计算质子在D型盒中的总时间可忽略电场中的运动时间．
（3）设质子经i次加速后速度为v_i，由动能定理得，iqU=

1

2

m

v

2 i

，⑦
质子第i次进入磁场时，由①、⑦得            Bi=

1

R0

2imU q

质子第i次在磁场中的绕行时间           ti=

πR0

vi

=πR0

m 2iqU

⑧
由⑧式可得质子从开始运动到第i次进入磁场时所用的总时间：t0=t1+t2+t3+…+ti-1=πR0

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

i-1

)（i＞1）
答：（1）质子能达到的最大速度为vm=

qBR

m

．
（2）证明计算过程如上所述．
（3）质子第i次进入磁场时磁感应强度Bi=

1

R0

2imU q

，质子从开始运动到第i次进入磁场时所用的总时间t0=πR0

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

i-1

)．

点评：解决本题的关键知道粒子在电场中加速，做匀加速直线运动，在磁场中偏转，做匀速圆周运动．对于第（3）问，对数学能力的要求较高，抓住半径不变，求出磁感应强度以及运动时间的通项表达式．