Question

如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．y＜0的区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第一象限的空间内有与x轴平行的匀强电场（图中未画出）；第四象限有与x轴同方向的匀强电场；第三象限也存在着匀强电场（图中未画出）．一个质量为m、电荷量为q的带电微粒从第一象限的P点由静止释放，恰好能在坐标平面内沿与x轴成θ=30°角的直线斜向下运动，经过x轴上的a点进入y＜0的区域后开始做匀速直线运动，经过y轴上的b点进入x＜0的区域后做匀速圆周运动，最后通过x轴上的c点，且Oa=Oc．已知重力加速度为g，空气阻力可忽略不计，求：
（1）第一象限电场的电场强度E₁的大小及方向；
（2）带电微粒由P点运动到c点的过程中，其电势能的变化量大小；
（3）带电微粒从a点运动到c点所经历的时间．

Answer 1

分析：（1）根据粒子在第四象限内做匀速直线运动，受重力、电场力和洛伦兹力平衡，知微粒带正电，根据粒子在第一象限内，合力的方向沿Pa方向，可知电场力的方向，从而确定电场强度的方向，根据平行四边形定则求出电场力大小，从而得出电场强度的大小．
（2）根据电场力做功判断电势能的变化量，在）带电粒子从a点运动到c点的过程中，速度大小不变，即动能不变，且重力做功为零，所以从a点运动到c点的过程中，电场力对带电粒子做功为零．根据粒子在第四象限做匀速直线运动得出速度的大小，从而得出粒子在第一象限内做匀加速直线运动在x轴上的分速度，结合牛顿第二定律和运动学公式求出沿x轴方向上的位移，从而确定出粒子在第一象限内电场力做的功，根据整个过程电场力做功求出电势能的变化量大小．
（3）粒子在第三象限内做匀速直线运动，在第四象限内做匀速圆周运动，根据几何关系，结合带电粒子在第三象限内的位移和第四象限内的圆心角，分别求出在两个象限内运动的时间，从而确定出总时间．

解答：解：（1）在第一象限内，带电微粒从静止开始沿Pa做匀加速直线运动，受重力mg和电场力qE₁的合力一定沿Pa方向，电场力qE₁一定水平向左．
带电微粒在第四象限内受重力mg、电场力qE₂和洛仑兹力qvB做匀速直线运动，所受合力为零．分析受力可知微粒所受电场力一定水平向右，故微粒一定带正电．
所以，在第一象限内E₁方向水平向左（或沿x轴负方向）．
根据平行四边形定则，有 mg=qE₁tanθ
解得 E1=

3 mg

q

．
（2）带电粒子从a点运动到c点的过程中，速度大小不变，即动能不变，且重力做功为零，所以从a点运动到c点的过程中，电场力对带电粒子做功为零．
由于带电微粒在第四象限内所受合力为零，因此有 qvBcosθ=mg
带电粒子通过a点的水平分速度v_x=vcosθ=

mg

Bq

带电粒子在第一象限时的水平加速度a_x=

qE1

m

=

3

g
带电粒子在第一象限运动过程中沿水平方向的位移x=

v 2 x

2a

=

3 m2g

6B2q2

．
由P点到a点过程中电场力对带电粒子所做的功W_电=qE₁x=

m3g2

2B2q2

因此带电微粒由P点运动到c点的过程中，电势能的变化量大小
△E_电=

m3g2

2B2q2

（3）在第三象限内，带电微粒由b点到c点受重力mg、电场力qE₃和洛仑兹力qvB做匀速圆周运动，一定是重力与电场力平衡，所以有
qE₃=mg
设带电微粒做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律，有 qvB=m

v2

R

带电微粒做匀速圆周运动的周期
T=

2πR

v

=

2πm

qB

带电微粒在第三象限运动的轨迹如图所示，连接bc弦，因Oa=Oc，所以△abc为等腰三角形，即∠Ocb=∠Oab=30°．过b点做ab的垂线，与x轴交于d点，因∠Oba=60°，所以∠Obd=30°，因此△bcd为等腰三角形，bc弦的垂直平分线必交于x轴上的d点，即d点为轨迹圆的圆心．
所以带电粒子在第四象限运动的位移x_ab=Rcotθ=

3

R
其在第四象限运动的时间t₁=

xab

v

=

3 m

qB

由上述几何关系可知，带电微粒在第三象限做匀速圆周运动转过的圆心角为120°，即转过

1

3

圆周，所以从b到c的运动时间 t₂=

T

3

=

2πm

3qB

因此从a点运动到c点的时间 t=t₁+t₂=

3 m

qB

+

2πm

3qB

=(

3

+

2π

3

)

m

qB

．
答：（1）第一象限电场的电场强度E₁的大小E1=

3 mg

q

，方向水平向左．
（2）带电微粒由P点运动到c点的过程中，其电势能的变化量大小为

m3g2

2B2q2

．
（3）带电微粒从a点运动到c点所经历的时间为(

3

+

2π

3

)

m

qB

．

点评：带电粒子在复合场中的运动是整个高中的重点，也是高考的必考的内容，粒子的运动过程的受力分析以及运动情况分析是解题的关键．