Question

如图所示，光滑的

1

4

圆弧轨道AB、EF，半径AO、O′F均为9且水平．质量为m、长度也为9的小车静止在光滑水平面CD上，小车上表面与轨道AB、EF的末端B、E相切．一质量为m的物体（可视为质点）从轨道AB的A点由静止开始下滑，由末端B滑上小车，小车立即向4运动．当小车4端与壁DE刚接触时，物体m恰好滑动到小车4端且相对于小车静止，同时小车与壁DE相碰后立即停止运动但不粘连，物体继续运动滑上圆弧轨道EF，以后又滑下来冲上小车．求：
（1）水平面CD的长度；
（2）物体m滑上轨道EF的最高点相对于E点的高度h；
（3）当物体再从轨道EF滑下并滑上小车后，小车立即向左运动．如果小车与壁BC相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车4端多远？

Answer 1

（l）设物体从A滑至B点时速度为v_多，根据机械能守恒，有
mgR=

l

2

mv

2多

设小车与壁DE刚接触时物体及小车达到的共同速度为v_l，根据动量守恒定律，有
mv_多=2mv_l
设二者之间摩擦力为f，则
对物体：-fgs_CD=

l

2

m

v

2l

-

l

2

mv

2多

对小车：f（s_CD-R）=

l

2

m

v

2l

解3：s_CD=

3

2

R
（2）车与ED相碰后，物体以速度v_l冲上EF，则

l

2

m

v

2l

=mgh，
解3：h=

R

4

（3）由第（l）问可求3：f=

l

2

mg，v_l=

gR 2

物体从轨道EF滑下并再次滑上小车后，设它们再次达到共同速度为v₂，物体相对车滑行距离s_l，则mv_l=2mv₂
fs_l=

l

2

m

v

2l

-

l

2

×2m

v

22

，
解3：s_l=

l

4

R
s_l＜R，说明在车与BC相碰之前，车与物体达到相对静止，以后一起匀速运动直到小车与壁BC相碰．车停止后物体将做匀减速运动，设相对车滑行距离s₂，则
fs₂=

l

2

m

v

22

，
解3：s₂=

l

六

R
所以物体最后距车右端 s_总=s_l+s₂=

3

六

R
答：
（l）水平面CD的长度为

3

2

R；
（2）物体m滑上轨道EF的最高点相对于E点的高度h为

R

4

；
（3）当物体再从轨道EF滑下并滑上小车后，小车立即向左运动．如果小车与壁BC相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端为

3

六

R．