Question

研究物体的运动时，常常用到光电计时器．如图所示，当有不透光的物体通过光电门时，光电计时器就可以显示出物体的挡光时间．光滑水平导轨MN上放置两个物块A和B，左端挡板处有一弹射装置P，右端N处与水平传送带平滑连接，将两个宽度为d=3.6×10^-3m的遮光条分别安装在物块A和B上，且高出物块，并使遮光条在通过光电门时挡光．传送带水平部分的长度L=9.0m，沿逆时针方向以恒定速度v=6.0m/s匀速转动．物块B与传送带的动摩擦因数μ=0.20，物块A的质量（包括遮光条）为m_A=2.0kg．开始时在A和B之间压缩一轻弹簧，锁定其处于静止状态，现解除锁定，弹开物块A和B，迅速移去轻弹簧．两物块第一次通过光电门，物块A通过计时器显示的读数t₁=9.0×10^-4s，物块B通过计时器显示的读数t₂=1.8×10^-3s，重力加速度g取10m/s²，试求：
（1）弹簧储存的弹性势能E_p；
（2）物块B在传送带上滑行的过程中产生的内能；
（3）若物体B返回水平面MN后与被弹射装置P弹回的A在水平面上相碰，碰撞中没有机械能损失，则弹射装置P必须对A做多少功才能让B碰后从Q端滑出．

Answer 1

分析：（1）解除锁定弹簧弹开物块AB后，两块都做匀速运动，根据通过光电门的时间和d，求出两物块的速度，根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出弹簧储存的弹性势能E_p；
（2）B滑上传送带后先向右做匀减速运动，当速度减小为零时，向右滑行的距离最远．根据牛顿第二定律求出B的加速度，由速度位移公式求出向右运动的最大位移和时间，求出此时间内传送带运动的距离，得到两者相对位移大小．当物块B返回时，再求出两者相对位移大小，即可由Q=μm_Bg△x求解内能．
（3）根据功能关系得到弹射装置对A做功W与弹射前后A的速度关系．AB碰撞中动量和机械能都守恒，列出两个守恒方程．B要刚好能滑出平台Q端，碰后B的动能大于克服摩擦力做功，联立求解弹射装置P必须对A做多少功．

解答：解：（1）解除锁定弹开AB后，AB两物体的速度大小：
又v_A=

d

t1

=

3.6×10-3

9×10-4

m/s=4m/s
v_B=

d

t2

=

3.6×10-3

1.8×10-3

m/s=2m/s
根据系统的动量守恒得：m_Av_A=m_Bv_B；
解得：m_B=

mAvA

vB

=

2×4

2

kg=4kg
所以弹簧储存的弹性势能 E_P=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

=24J
（2）B滑上传送带匀减速运动，当速度减为零时，滑动的距离最远．
由牛顿第二定律得：μm_Bg=m_Ba，得a=2m/s²．
B向右运动的距离为  x₁=

v 2 B

2a

=1m＜L，则物块将返回，向右运动的时间为
t₁=

vB

a

=1s
传送带向左运动的距离为x₂=vt₁=6m
则B相对于传送带的位移为△x₁=x₁+x₂=7m
设B向左返回所用时间仍为t₁，位移为x₁，B相对于传送带的位移为△x₂=x₂-x₁=5m
故物块B在传送带上滑行的过程中产生的内能为
   Q=μm_Bg（△x₁+△x₂）=96J
（3）设弹射装置对A做功为W，则：

1

2

mA

v

′2 A

=

1

2

mA

v

2 A

+W ①
AB相碰，碰前B的速度为v_B=2m/s，设碰后B的速度为v_B′，则
 根据动量守恒和机械能守恒得
   m_Av_A′-m_Bv_B=m_Av_A″+m_Bv_B′②
  

1

2

mA

v

′2 A

+

1

2

mB

v

2 B

=

1

2

mA

v

″2 A

+

1

2

mB

v

′2 B

 ③
B要刚好能滑出平台Q端，由能量关系有：

1

2

mB

v

′2 B

＞μm_BgL ④
代入解④得：v_B′＞6m/s
代入解②③得：v_A′=1.5v_B′+0.5v_B＞（1.5×6+1）m/s=10m/s
由①得：W＞84J
答：
（1）弹簧储存的弹性势能E_p是24J．
（2）物块B在传送带上滑行的过程中产生的内能是96J；
（3）弹射装置P必须对A做84J功才能让B碰后从Q端滑出．

点评：本题是复杂的力学综合题，综合了运动学公式、牛顿第二定律、机械能守恒、动量守恒等多个知识，分析运动过程，选择解题规律是关键．