Question

如图11所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，不计线与钉子碰撞时的能量损失．求钉子位置在水平线上的取值范围．

Answer 1

l≤x≤l

这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题．题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（r是做圆周运动的半径）．设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x₁，则：AD=
悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r₁=l－AD= l－……①（1分）
当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：

F－mg=…………………………………………②     （1分）
结合F≤9mg可得：≤8mg……………………③    （1分）
由机械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²（2分）
即：v²=2g(+r₁) ………………………………④       （1分）
由①②③式联立解得：x₁≤l…………………⑤     （1分）
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了．
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x₂，如图，则：AG=
r₂=l－AG= l－…………………………⑥       （1分）
在最高点：mg≤……………………………⑦       （1分）
由机械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²…………⑧               （1分）
由④⑤⑥联立得：x₂≥l…………………………⑨                （1分）
在水平线上EF上钉子的位置范围是：l≤x≤l         （1分）