Question

如图所示，半径R=0.2m的光滑四分之一圆轨道MN竖直固定放置，末端N与一长L=0.8m的水平传送带相切，水平衔接部分摩擦不计，传动轮（轮半径很小）作顺时针转动，带动传送带以恒定的速度ν₀运动．传送带离地面的高度h=1.25m，其右侧地面上有一直径D=0.5m的圆形洞，洞口最左端的A点离传送带右端的水平距离S=1m，B点在洞口的最右端．现使质量为m=0.5kg的小物块从M点由静止开始释放，经过传送带后做平抛运动，最终落入洞中，传送带与小物块之间的动摩擦因数μ=0.5． g取10m/s²．求：
（1）小物块到达圆轨道末端N时对轨道的压力
（2）若ν₀=3m/s，求物块在传送带上运动的时间
（3）若要使小物块能落入洞中，求ν₀应满足的条件．

Answer 1

（1）设物块滑到圆轨道末端速度ν₁，根据机械能守恒定律得：
mgR=

1

2

mv12
设物块在轨道末端所受支持力的大小为F，
根据牛顿第二定律得：F-mg=m

v12

R

联立以上两式代入数据得：F=15N        
根据牛顿第三定律，对轨道压力大小为15N，方向竖直向下   
（2）物块在传送带上加速运动时，由μmg=ma，得a=μg=5m/s²
加速到与传送带达到同速所需要的时间t1=

v0-v1

a

=0.2s    
位移s1=

v1+v0

2

t₁=0.5m  
匀速时间t2=

L-s1

v0

=0.1s   
故T=t₁+t₂=0.3s  
（3）物块由传送带右端平抛h=

1

2

gt2
恰好落到A点   s=v₂t         得ν₂=2m/s    
恰好落到B点   D+s=ν₃t         得ν₃=3m/s     
故ν₀应满足的条件是3m/s＞ν₀＞2m/s         
答：（1）小物块到达圆轨道末端N时对轨道的压力大小为15N，方向竖直向下；
（2）若ν₀=3m/s，求物块在传送带上运动的时间为0.3s；
（3）若要使小物块能落入洞中，ν₀应满足的条件为3m/s＞ν₀＞2m/s．