Question

如图，一高为h=0.2m的木板B置于粗糙水平地面上，B的上表面以O点为界，O点右侧是光滑的，O点左侧是粗糙的．O点离木板B最右端的距离L=1.25m，O点离木板B最左端的距离S=0.32m．在B的最右端放一个质量与B相同的木块A，木块A可看成质点．A、B均处于静止状态，已知木板B与地面之间的动摩擦因数为μ₁=0.1，A、B之间动摩擦因数为μ₂=0.2，A、B的质量均为m．现给B一个水平向右的瞬间冲量，使B获得初速度v₀=3.0m/s，求：
（1）当木板B向右运动1.25m时，A、B各自的速度大小；
（2）若木板B向右运动1.25m时，木板B突然受到一个向右的水平作用力F=0.2mg，则水平力F作用于木板B的时间为0.4s时，木块A离O点的水平距离．

Answer 1

分析：1、在O点右侧，木块A受到的摩擦力为零，故木块A静止不动，B在地面的摩擦力作用下做匀减速运动．对B由动能定理求解．
2、当木板B突然受力F后，木块A做加速运动、木板B做减速运动，由动量守恒定律和能量守恒定律求解A、B发生相对运动到达共同速度阶段A在B上滑行的距离，判断A将从B 上表面滑落，再研究A刚好滑离B，由动量守恒定律和能量守恒定律求解，再由牛顿第二定律和运动学规律求解．

解答：解：（1）在O点右侧，木块A受到的摩擦力为零，故木块A静止不动，即：v_AO=0
B在地面的摩擦力作用下做匀减速运动．
设B向右运动1.25m时的速度为v_B，对B由动能定理得：
-μ1mgL=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

…①
解①得：v_B=2m/s
（2）当木板B突然受力F后，木块A做加速运动、木板B做减速运动，
设A、B最后达到的共同速度为v_共，A、B发生相对运动到达共同速度阶段A在B上滑行的距离为S₀，由动量守恒定律得：
mv_B=2mv_共…②
由能量守恒定律，得：
μ2mgS0=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

2m

v

2 共

…③
解②③得：S₀=0.5m
由于S₀＞S，则说明A将从B 上表面滑落．
设A刚好滑离B时A、B的速度分别为v_A、v_B，由动量守恒定律得：
 mv_B=mv_A+mv_B1…④
由能量守恒定律得：μ2mgS=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

-

1

2

m

v

2 B1

…⑤
解④⑤得：v_A=0.4m/s，v_B1=1.6m/s
设A在B上自O点至离开B所用的时间为t₁，
对A，由动量定理有：μ₂mgt₁=mv_A…⑥
解⑥式得：t₁=0.2s
此后A以v_A为初速度向右作平抛运动，设A经t₂落地，t₂时间内A的水平位移为x
由平抛运动规律有：h=

1

2

g

t

2 2

…⑦
x=v_At₂…⑧
解⑦⑧得：t₂=0.2s，x=0.08m．
当A作平抛运动的同时，B向右作初速度为v_B1的匀加速运动．设其加速度为a_B．
由牛顿第二定律有：F-μ₁mg=ma_B…⑨
设t₂内B运动的距离为S_B：SB=vB1t2+

1

2

aB

t

2 2

…⑩
则B受F作用0.4s时A离O点的水平距离为：
△S=S+S_B-x…（11）
解⑨⑩（11）得：
△S=0.58m．
答：（1）当木板B向右运动1.25m时，A的速度为零，B的速度大小是2m/s；
（2）若木板B向右运动1.25m时，木板B突然受到一个向右的水平作用力F=0.2mg，则水平力F作用于木板B的时间为0.4s时，木块A离O点的水平距离是0.58m．

点评：本题是滑块在木板上滑动的类型，要分过程进行研究，运用牛顿第二定律、运动学公式和动量守恒、动能定理进行求解．