Question

8．如图所示，AB为半径R=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，下端B恰与平板小车右端平滑对接．小车质量M=3kg，车长L=2.06m．现有一质量m=1kg的小滑块，由轨道顶端无初速释放，滑到B端后冲上小车．已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.3，当车运行了1.5s时，车被地面装置锁定．（g=10m/s²）试求：
（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与平板车构成的系统损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）滑块从光滑圆弧轨道过程，只有重力做功，机械能守恒．经过B端时由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求解轨道的支持力．
（2）根据牛顿第二定律分别求出滑块滑上小车后滑块和小车的加速度，由速度公式求出两者速度所经历的时间，再求解车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，系统损失的机械能转化为内能，求出滑块相对于小车滑动的距离，根据能量守恒定律求出系统损失的机械能．

解答 解：（1）滑块从光滑圆弧轨道过程，根据机械能守恒定律得：
mgR=$\frac{1}{2}$mv²
滑块经过B端时，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{v^2}{R}$
联立两式，代入数值得，轨道对滑块的支持力为：N=3mg=3×1×10=30N                        
（2）当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得
  对滑块有：-μmg=ma₁
  对小车有：umg=Ma₂
设经时间t两者达到共同速度，则有：v+a₁t=a₂t
解得t=1 s．由于1s＜1.5s，此时小车还未被锁定，两者的共同速度：v′=a₂t=1m/s，两者以共同速度运动时间为t′=0.5s．
故车被锁定时，车右端距轨道B端的距离：S=$\frac{1}{2}$a₂ t²+v′t′
代入数据得：S=1 m
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离
△S=$\frac{v+v′}{2}$t-$\frac{1}{2}$a₂t²
代入数据得：△S=2m
所以系统损失的机械能即产生的内能为E=μmg△S=0.3×1×10×2=6J
答：（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小为30N；
（2）车被锁定时，车右端距轨道B端的距离为1m；
（3）从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与平板车构成的系统损失的机械能为6J；

点评 本题运用程序法进行分析．（2），（3）问也可以运用动量守恒定律，牛顿第二定律结合运动学公式，更简便求解．