Question

13．宇航员站在一个星球表面的某高处，以水平初速度抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点的距离为L，与地面的夹角为θ，已知该星球的半径为R，万有引力常数为G，若发射一颗在该星球表面附近绕该星球做匀速圆周运动的卫星，求这颗卫星的速度．

Answer 1

分析 根据几何关系求出平抛运动下落的高度，根据竖直方向做自由落体运动求出重力加速度大小，根据万有引力等于重力提供向心力求出这颗卫星的速度．

解答 解：根据几何关系可得：$\sqrt{{x}^{2}+{h}^{2}}=L$，$tanθ=\frac{h}{x}$，
解得：h=$Ltanθ\sqrt{\frac{1}{tanθ+1}}$
物体做平抛运动时，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：g=$\frac{2Ltanθ\sqrt{\frac{1}{tanθ+1}}}{{t}^{2}}$
在地球表面万有引力等于重力，根据重力提供向心力，则有
m$\frac{{v}^{2}}{R}=mg$
解得：v=$\sqrt{\frac{2RLtanθ\sqrt{\frac{1}{tanθ+1}}}{{t}^{2}}}$
答：这颗卫星的速度为$\sqrt{\frac{2RLtanθ\sqrt{\frac{1}{tanθ+1}}}{{t}^{2}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力、万有引力提供向心力这两个重要理论，并能灵活运用，并能结合几何求解，难度适中．