Question

假设火星探测器距火星表面的高度为h，绕火星做匀速圆周运动的周期为T，火星的半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探测器的引力作用，试求：
（1）探测器线速度的大小；
（2）火星的平均密度；
（3）火星的第一宇宙速度．

Answer 1

（1）探测器绕地球做匀速圆周运动，根据线速度和周期的关系得
探测器线速度的大小为v=

2π(h+R)

T

．
（2）设火星的质量为M，平均密度为ρ，探测器的质量为m，火星对探测器的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有
G

Mm

(h+R)2

=m

4π2

T2

（h+R）
解得：M=

4π2(h+R)3

GT2

火星的平均密度
ρ=

M

V

=

4π2(h+R)3 GT2

4 3 πR3

=

3π(h+R)3

GT2R3

．
（3）设火星的第一宇宙速度为v₁，则
G

Mm

R2

=m

v12

R

得v₁=

GM R

把M的值代入，解得v₁=

4π2(h+R)3 RT2

=

2π(R+h)

T

R+h R

．
答：（1）探测器线速度的大小为

2π(h+R)

T

；
（2）火星的平均密度为

3π(h+R)3

GT2R3

；
（3）火星的第一宇宙速度为

2π(R+h)

T

R+h R

．