Question

如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d₁，间距为d₂．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直． （设重力加速度为g） 
（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△E_k．
（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q．
（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v．

Answer 1

分析：（1）a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域时，穿过回路的磁通量不变，没有感应电流产生，两棒均不受安培力，机械能守恒，可求出△E_k．
（2）两棒分在磁场区域中和无磁场区域中运动两个过程研究：在磁场区域中，导体棒的动能和重力势能转化为内能；在无磁场区域中机械能守恒，则可根据能量守恒和机械能守恒列式求出b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q．
（3）本问有一定的难度，由于导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，其加速度是变化的，因此不能用匀变速运动知识解答，可以通过微积分思想进行解答，如在极短的时间内安培力可以认为不变，利用牛顿第二定律列方程，然后根据数学知识求解．

解答：解：（1）a和b不受安培力作用，由机械能守恒知△E_k=mgd₁sinθ①
（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v₁，刚离开无磁场区域时的速度为v₂，由能量守恒知
在磁场区域中，

1

2

m

v

2 1

+Q=

1

2

m

v

2 2

+mgd1sinθ ②
在无磁场区域中 

1

2

m

v

2 2

=

1

2

m

v

2 1

+mgd2sinθ  ③
解得 Q=mg（d₁+d₂）sinθ  ④
（3）在无磁场区域，根据匀变速直线运动规律有 v₂-v₁=gtsinθ⑤
且平均速度 

v1+v2

2

=

d2

t

 ⑥
有磁场区域，棒a受到合力 F=mgsinθ-BIl ⑦
感应电动势 ε=Blv ⑧
感应电流   I=

ε

2R

 ⑨
解得 F=mgsinθ-

B2l2

2R

v ⑩
根据牛顿第二定律得，F=ma=m

△v

△t

在t到t+△t时间内
（mgsinθ-

B2l2v

2R

）△t=m△v
则有mgsinθ△t-

B2l2

2R

v△t=m△v
解得v₁-v₂=gtsinθ-

B2l2

2mR

d1
联立⑤⑥解得 v1=

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

由题意知v=v1=

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

答：（1）b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△E_k为mgd₁sinθ．
（2）b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q为mg（d₁+d₂）sinθ．
（3）a穿出第k个磁场区域时的速率v为

4mgRd2

B2l2d1

sinθ-

B2l2d1

8mR

．

点评：注意克服安培力做功为整个回路中产生的热量；本题的难点在于第（3）问，方法巧妙，在平时练习中一定注意数学知识在物理中的应用．