Question

19．某工厂生产流水线示意图如图所示，半径R=1m的水平圆盘边缘E点固定一小桶，在圆盘直径DE正上方平行放置的水平传送带沿顺时针方向匀速转动，传送带右端C点与圆盘圆心O在同一竖直线上，竖直高度h=1.25m，AB为一个与CO在同一竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，半径r=0.45m，且与水平传送带相切于B点，一质量m=0.2kg的滑块（可视为质点）从A点由静止释放，滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，当滑块到达B点时，圆盘从较长示位置以一定的角速度ω绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，滑块到达C点时恰与传送带同速并水平抛出，刚好落入圆盘边缘的小桶内，取g=10m/s²，求：
（1）滑块到达圆弧轨道B点时对轨道的压力F_AB；
（2）传送带BC部分的长度L；
（3）圆盘转动的角速度ω应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）滑块由A点到B过程中，只有重力做功，由动能定理求出滑块经过B点的速度大小，根据牛顿第二定律和第三定律求解滑块到达B点时对轨道的压力F_AB；
（2）滑块离开C后做平抛运动，要恰好落入圆盘边缘的小桶内，水平位移大小等于圆盘的半径R，根据平抛运动的规律求得滑块经过C点的速度，根据动能定理研究BC过程，求解BC的长度；
（3）滑块由B点到C点做匀减速运动，由运动学公式求出时间，滑块从B运动到小桶的总时间等于圆盘转动的时间，根据周期性求解ω应满足的条件．

解答 解：（1）滑块从A到B过程中，由动能定理，有：
  mgr=$\frac{1}{2}$mυ_B²
解得：υ_B=$\sqrt{2gr}$=3 m/s 
滑块到达B点时，由牛顿第二定律，有：
  F_AB′-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
解得：F_AB′=3mg=6 N  
据牛顿第三定律，滑块到达B点时对轨道的压力大小为 F_AB=F_AB′=6 N，方向竖直向下．
（2）滑块离开C点后做平抛运动，有：
  h=$\frac{1}{2}$gt₁²
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.5 s   
υ_C=$\frac{R}{{t}_{1}}$=2 m/s
滑块由B到C过程中，据动能定理有：
-μmgL=$\frac{1}{2}$mυ_C²-$\frac{1}{2}$mυ_B²
解得：L=$\frac{{v}_{B}^{2}-{v}_{C}^{2}}{2μg}$=1.25 m
（3）滑块由B到C过程中，据运动学公式有：L=$\frac{{v}_{B}+{v}_{C}}{2}$t₂
解得 t₂=0.5 s                           
则t=t₁+t₂=1 s                                     
圆盘转动的角速度ω应满足条件为 t=n•$\frac{2π}{ω}$，（n=1，2，3…）                        
解得：ω=2nπ rad/s（n=1，2，3…）
答：
（1）滑块到达圆弧轨道B点时对轨道的压力F_AB为6N，方向竖直向下；
（2）传送带BC部分的长度L为1.25m；
（3）圆盘转动的角速度ω应满足的条件为ω=2nπ rad/s，（n=1，2，3…）．

点评 本题滑块经历三个运动过程，分段选择物理规律进行研究，关键是抓住圆盘与滑块运动的同时性，根据周期性研究ω应满足的条件．