Question

如图所示，水平放置的圆盘上，在其边缘C点固定一个小桶，桶的高度不计，圆盘半径为R=1m，在圆盘直径CD的正上方，与CD平行放置一条水平滑道AB，滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，且B点距离圆盘圆心的竖直高度h=1.25m，在滑道左端静止放置质量为m=0.4kg的物块（可视为质点），物块与滑道的动摩擦因数为μ=0.2，现用力F=4N的水平作用力拉动物块，同时圆盘从图示位置，以角速度ω=2πrad/s，绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用在物块一段时间后撤掉，最终物块由B点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内．重力加速度取10m/s²．求：（1）求拉力作用的最短时间；
（2）若拉力作用时间为0.5s，求所需滑道的长度；
（3）在（2）问的前提下，圆盘转动的圈数．

Answer 1

（1）物块平抛：h=

1

2

gt²；
t=

2h g

=

2×1.25 10

=0.5s
物块离开滑道时的速度：v=

R

t

=2m/s；
拉动物块的加速度，由牛顿第二定律：F-?mg=ma₁
代入数据解得：a₁=

F-μmg

m

=

4-0.2×0.4×10

0.4

=8m/s²
撤去外力后，由牛顿第二定律：-μmg=ma₂；
得：a₂=-0.2×10=-2m/s²
盘转过一圈时落入，拉力时间最短，有：
T=

2π

ω

=

2π

2π

=1s，
物块在滑道上先加速后减速，有：v₀=a₁t₁+a₂t₂=8t₁-2t₂
故4t₁-t₂=1；
物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：t₁+t₂+t=T，
联立并代入数据得：t₁=0.3s．
（2）若拉力时间为0.5s，则加速位移为：x₁=

1

2

a₁t²=

1

2

×8×0.25=1m；
加速的末速度为：v₁=a₁t=8×0.5=4m/s；
减速过程的位移为：x₂=

v2- v 21

2a2

=

4-16

-4

m/s=3m；
木板的长度为：x=x₁+x₂=1+3=4m；
（3）拉力的时间为0.5s，减速时间为：t₃=

v-v1

a2

=

2-4

-2

s=1s；
时间为：t₄=0.5+t₃=0.5+1=1.5s；
故转过的圈数为：n=

1.5

1

=1.5圈；
答：（1）拉力作用的最短时间为0.3s；
（2）木板的长度为4m；
（3）圆盘转过了1.5圉．