Question

如图所示，正方形区域abcd边长L=8cm，内有平行于ab方向指向BC边的匀强电场，场强E=3750V/m，一带正电的粒子电量q=10^-10C，质量m=10^-20kg，沿电场中心线RO飞入电场，初速度v₀=2×10⁶m/s，粒子飞出电场后经过界面cd、PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域，一进入该区域即开始做匀速圆周运动（设点电荷左侧的电场分布以界面PS为界限，且不受PS影响）．已知cd、PS相距12cm，粒子穿过PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏MN上．（静电力常数k=9×10⁹Nm²/C²）试求：

（1）粒子穿过界面PS时偏离中心线OR的距离y；
（2）粒子穿过界面PS时的速度大小与方向；
（3）O点与PS面的距离x；
（4）点电荷Q的电性及电量大小．

Answer 1

分析：（1）带电粒子垂直进入匀强电场后，只受电场力，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出粒子飞出电场时的侧移y₁；由几何知识求解粒子穿过界面PS时偏离中心线RO的距离y．
（2）由运动学公式和速度的合成求出粒子离开电场时的速度大小和方向，由于离开电场后粒子做匀速直线运动，即可得到粒子穿过界面PS时的速度大小与方向；
（3）由几何知识求解O点与PS面的距离x；
（4）带电粒子进入界面PS后做圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上，根据运动情况即可画出轨迹，由几何知识求得轨迹的半径，根据牛顿第二定律和向心力公式求解点电荷Q的电量大小．

解答：解：（1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有
   水平方向：L=v₀t．
   竖直方向：y₁=

1

2

at2
  又qE=ma，
  则a=

qE

m

得y₁=

qEL2

2m v 2 0

代入解得，y₁=0.03m=3cm．
根据几何知识得：y：y₁=（s+

L

2

）：

L

2

，
解得 y=4y₁=12 cm
（2）v_y=at=

qEL

mv0

=1.5×10⁶ m/s，v_x=v₀=2×10⁶ m/s
粒子离开电场时的速度大小为v=

v 2 x + v 2 y

=2.5×10⁶ m/s
粒子的速度偏向角的正切为tanθ=

vy

v0

=0.75，得θ=37°
由于离开电场后粒子做匀速直线运动，则得粒子穿过界面PS时的速度大小为2.5×10⁶ m/s，方向与水平成37°角斜向下右下方．
（3）由几何关系得 x=y tanθ=9cm
（4）带电粒子带正电，则知点电荷Q粒子带负电．
粒子做圆周运动的半径为R=

y

cosθ

=15 cm
由

kQq

R2

=m

v2

R

        得Q=

mRv2

kq

=1.04×10^-8C 
答：（1）粒子穿过界面PS时偏离中心线OR的距离y是12cm；
（2）粒子穿过界面PS时的速度大小为2.5×10⁶ m/s，方向与水平成37°角斜向下右下方；
（3）O点与PS面的距离x是9cm；
（4）点电荷Q的电性是负电，电量大小为1.04×10^-8C．

点评：题是类平抛运动与匀速圆周运动的综合，分析粒子的受力情况和运动情况是基础．难点是运用几何知识解出对应的边长．