Question

（2012?无锡二模）如图所示，间距为L的两条足够长的平行绝缘轨道与水平面的夹角为θ，两轨道间有n个长方形匀强磁场区域，磁场区域的宽度为d₁，区域与区域之间的距离为d₂，匀强磁场的磁感应强度为B、方向与导轨平面垂直．一长L′（略大于L）、宽为l、质量为m、电阻为R的长方形导体线圈放在导轨上，线圈恰能保持静止．现给线圈一个沿轨道平面向下的初速度，线圈恰好滑过n个磁场区域后停止，线圈在运动过程中的长边始终与轨道垂直．空气阻力和线圈导线的粗细不计，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，d₁=d₂=l．求：
（1）线圈全部进入任意一个磁场区域的过程中，通过线圈的电荷量q；
（2）线圈从刚进入磁场区域1到最终停止的过程中，系统产生的总热量Q；
（3）线圈刚进入磁场区域k（k＜n）时，线圈中的电功率P．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=

.

I

△t，求解通过线圈的电量q；
（2）线圈在任一时刻以速度v运动时均有一条长边在磁场中切割磁感线，线圈会受磁场的安培阻力F作用．由F=BIL，I=

BLv

R

，得到安培力表达式F=

B2L2v

R

，由牛顿第二定律得到
线圈减速运动的瞬时加速度a=

B2L2v

mR

．设经过极短的时间△t，速度减小△v，运动的位移△x，则△v=a△t=

B2L2v△t

mR

，再进行求和，得到线圈开始运动时的初速度，即可根据能量守恒求出系统产生的总热量Q；
（3）根据上题的结果，求出线圈刚穿出磁场区域（k-1）时速度v_k-1，由P=

(BLvk-1)2

R

求线圈的电功率．

解答：解：（1）在线圈全部滑进某一磁场区域的过程中所用时间为△t，线圈中的平均感应电动势

.

E

=

△Φ

△t

=

BLl

△t

平均电流

.

I

=

. E

R

则得通过线圈的电量为q=

.

I

△t=

BLl

R

．
（2）线圈在任一时刻以速度v运动时均有一条长边在磁场中切割磁感线，线圈会受磁场的安培阻力F作用．
则  F=BIL，I=

BLv

R

，得F=

B2L2v

R

线圈减速运动的瞬时加速度a=

B2L2v

mR

经过极短的时间△t，速度减小△v，运动的位移△x，则△v=a△t=

B2L2v△t

mR

又△x=v△t
则得△v=

B2L2

mR

△x
两边求和得：△v=

B2L2

mR

△x=

B2L2

mR

△x
即有：v₀=

B2L2

mR

?2nl，其中v₀是线圈开始运动时的初速度．
整个运动过程中所产生的总热量Q=Q_电热+Q_摩擦
由能量守恒可知，Q=

1

2

m

v

2 0

+mgsinθ?2nl
联立解得  Q=

2B4L4n2l2

mR2

+mgsinθ?2nl
（3）线圈刚穿出磁场区域（k-1）时，速度为v_k-1，
  v₀-v_k-1=

B2L2

mR

?2（k-1）l
得v_k-1=

B2L2

mR

?2（n-k+1）l
线圈的电功率  P=

(BLvk-1)2

R

联立解得，P=

B6L6

m2R3

?4（n-k+1）²l²
答：
（1）线圈全部进入任意一个磁场区域的过程中，通过线圈的电荷量q是

BLl

R

；
（2）线圈从刚进入磁场区域1到最终停止的过程中，系统产生的总热量Q是

2B4L4n2l2

mR2

+mgsinθ?2nl；
（3）线圈刚进入磁场区域k（k＜n）时，线圈中的电功率P是

B6L6

m2R3

?4（n-k+1）²l²．

点评：电磁感应和能量关系运动是整个物理学的核心，在每年的压轴题经常会出现．通常有多个问，一般第（1）小问不难，后面的几问比较难，但不要放弃，要有分部得分意识，因此在复习中要培养学生分析物理问题的能力和分部得分意识．