Question

如图所示，在光滑的水平地面上，质量为M=3.0kg的长木板A的左端，叠放着一个质量为m=1.0kg的小物块B（可视为质点），处于静止状态，小物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.30．在木板A的左端正上方，用长为R=0.80m不可伸长的轻绳将质量为m=1.0kg的小球C悬于固定点O．现将小球C拉至上方与水平方向成θ=30⁰角的位置，由静止释放，在将绳拉直的瞬间，小球C沿绳方向的分速度立刻减为零，而沿切线方向的分速度不变．此后，小球C与B恰好发生正碰且无机械能损失．空气阻力不计，取g=10m/s²． 求：
（1）小球运动到最低点时对细线的拉力；
（2）木板长度L至少为多大时小物块才不会滑出木板？

Answer 1

分析：先由动能定理求出小球被拉直时的速度，然后小球沿圆周方向的速度为v₀cosθ，运用动能定理列式求出最低点速度，再根据牛顿第二定律列式求解拉力．
由动量守恒求出碰后滑块的速度，然后由机械能守恒列方程求出L．

解答：解：（1）静止释放后小球做自由落体运动到B点，绳被拉紧后再绕O点向下做圆周运动，如图所示．小球下落的高度为R而将绳拉直，
由机械能守恒定律得：mgR=

1

2

mv₀²    
小球下落到B点时沿圆周方向的速度为：v_B=v₀cosθ
小球由B点运动到最低点C点过程中机械能守恒则：

1

2

mv_B²+mgR（1-sinθ）=

1

2

mv_c²
小球在最低点受力如图所示，由牛顿运动定律得：F-mg=m

vc2

R

 
联立解得：F=3.5mg=35N
由牛顿第三定律得小球对细绳的拉力为35N，方向竖直向下．
（2）小球与B碰撞过程中遵守动量和机械能两个守恒，则
mv_c=mv₁+mv₂ 

1

2

mv_c²=

1

2

mv₁²+

1

2

mv₂²
解得：v₁=0，v₂=v_C=

5gR 2

，碰撞后小球与B交换速度
B在木板A上滑动，系统动量守恒，设B滑到木板A最右端时速度为v，则mv_c=（m+M）v
B在木板A上滑动的过程中，系统减小的机械能转化为热能，由能量守恒定律得　μmgL=

1

2

mv_c²-

1

2

（m+M）v² 　
联立解得L=

M

2μg(m+M)

5gR 2

 
代入数据解得L=2.5m
答：（1）小球运动到最低点时对细线的拉力35N；
（2）木板长度L至少为2.5m时小物块才不会滑出木板．

点评：本题考查了机械能守恒、速度的合成与分解、动量守恒以及能量守恒的应用，综合性较强，有一定难度．