Question

如图所示为荡秋千的示意图,最初人直立站在踏板上,两绳与竖直方向的夹角均为θ,人的重心到悬点O的距离为l₁;从A点向最低点B运动的过程中,人由直立状态变为自然下蹲,在B点人的重心到悬点O的距离为l₂;在最低点处,人突然由下蹲状态变成直立状态(人的重心到悬点O的距离恢复为l₁),且保持该状态到最高点C.设人的质量为m,不计踏板和绳的质量,不计一切摩擦和空气阻力.求:

(1)人第一次到达最低点B还处于下蹲状态时,从身上掉下一件物品,问物品落地点到最低点的距离为多少?假设人在最低点时离地面高度为h.
(2)人第一次到达最高点C时,绳与竖直方向的夹角α为多大?(可用反三角函数表示;解答本问时不考虑超重和失重)

Answer 1

(1)
(2)arccos(cosθ-)

(1)人从A点到B点(还处于下蹲状态)的过程中,设B点此时的速度为v
根据机械能守恒得
mg(l₂-l₁cosθ)= mv²
物品落地的时间为t,有
物品落地点的水平位移x=vt
解得
则该点离最低点B的距离
(2)人从B点保持直立状态到达C点的过程中,根据机械能守恒定律=mgl₁(1-cosα)
解得α=arccos(cosθ-).