Question

（2012?南通一模）如图所示，在xoy平面内第二象限的某区域存在一个矩形匀强磁场区，磁场方向垂直xoy平面向里，边界分别平行于x轴和y轴．一电荷量为e、质量为m的电子，从坐标原点O以速度v₀射入第二象限，速度方向与y轴正方向成45°角，经过磁场偏转后，通过P（0，a）点，速度方向垂直于y轴，不计电子的重力．
（1）若磁场的磁感应强度大小为B₀，求电子在磁场中的运动时间t；
（2）为使电子完成上述运动，求磁感应强度B的大小应满足的条件；
（3）若电子到达y轴上P点时，撤去矩形匀强磁场，同时在y轴右侧加方向垂直xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B₁，在y轴左侧加方向垂直xoy平面向里的匀强磁场，电子在第（k+1）次从左向右经过y轴（经过P点为第1次）时恰好通过坐标原点，求y轴左侧磁场磁感应强度的大小B₂及上述过程电子的运动时间t．

Answer 1

分析：（1）电子在磁场中由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，确定电子圆周运动的圆心角，由t=

θ

2π

T求出时间t；
（2）当磁感应强度最小时，电子回旋半径最大，由几何知识求出最大半径，即可求得B的最小值，从而可求得磁感应强度B的大小应满足的条件．
（3）由几何知识求得电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的半径与a的关系，即可求出B₂．并求出时间．

解答：解：（1）如图甲所示，电子在磁场中转过的角度θ=

3π

4

运动周期  T=

2πm

eB0

则电子在磁场中的运动时间t=

θ

2π

T
解得  t=

3πm

4eB0

（2）设磁感应强度最小值为B_min，对应最大回旋半径为R，圆心O₁，则有
   ev0Bmin=

m v 2 0

R

由几何关系得 R+

2

R=a
解得  Bmin=

( 2 +1)mv0

ea

则磁感应强度B应满足的条件为  B≥

( 2 +1)mv0

ea

（3）设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的半径分别为r₁和r₂，则有ev0B1=

m v 2 0

r1

，ev0B2=

m v 2 0

r2

如图乙的几何关系可知2k（r₁-r₂）=a
解得  B2=

2kmv0B1

2kmv0-aeB1

设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的周期分别为T₁和T₂，则
  T1=

2πm

eB1

，
  T2=

2πm

eB2

t=k?

T1+T2

2

解得  t=

2kπm

eB1

-

πa

2v0

解：
（1）若磁场的磁感应强度大小为B₀，电子在磁场中的运动时间t是

3πm

4eB0

；
（2）为使电子完成上述运动，磁感应强度B的大小应满足的条件是 B≥

( 2 +1)mv0

ea

；
（3）y轴左侧磁场磁感应强度的大小B₂为

2kmv0B1

2kmv0-aeB1

，上述过程电子的运动时间t为

2kπm

eB1

-

πa

2v0

．

点评：本题的解题关键是根据几何知识求出电子回旋的最大半径，根据圆心角，由t=

θ

2π

T求时间是常用的方法，要熟练掌握．