Question

如图甲所示，竖直面MN的左侧空间存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电量为q的可视为质点的带正电的小球，以大小为V₀的速度垂直于竖直面MN向右作直线运动．小球在t=0时刻通过电场中的P点，为使小球能在以后的运动中竖直向下通过D点（P、D间距为L，且它们的连线垂直于竖直平面MN，D到竖直面MN的距离DQ等于L/π），经过研究，可以在电场所在的空间叠加如图乙所示随时间周期性变化的、垂直纸面向里的磁场．（g=10m/s²）求：
（1）场强E的大小；
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，试推出满足条件t₁的表达式；
（3）进一步的研究表明，竖直向下的通过D点的小球将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小，并在图中定性画出小球运动一个周期的轨迹（只需要画出一种可能的情况）

Answer 1

分析：（1）小球受到电场力与重力相平衡，即可求解；
（2）根据洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，从而即可求解；
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，由周期公式结合长度关系，可求出磁感应强度，由运动轨迹，可求出最大周期．并画出运动轨迹．

解答：解：（1）小球进入电场，做匀速直线运动时　Eq=mg①
解得：E=

mg

q

      ②
（2）在t₁时刻加磁场，小球在时间t₀内做匀速圆周运动，设圆周运动周期为T₀，半径为R．
竖直向下通过D点，则：t₀=

3

4

T₀             ③
Bqv0=m

v02

R

④
PF-PD=R     
即v₀t₁-L=R⑤
将③、④代入⑤式解得：t1=

L

v0

+

m

qB0

⑥
（3）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，小球在电场中的运动周期T也增加．
在小球不飞出电场的情况下，当T最大时，有：
DQ=2R 即  

L

π

=

2mv0

qB0

⑥
T0=

2πR

v0

=

2πm

B0q

⑦
结合⑥⑦式解得：B0=

2πmv0

qL

⑧
T0=

L

v0

⑨
结合轨迹图可知，小球在电场中运动的最大周期，T=4×(

3T0

4

+t0)⑩
结合上式解得：T=

6L

v0

小球在电场中运动一个周期的轨迹图如图所示；

答：（1）场强E的大小E=

mg

q

；
（2）如果磁感应强度B₀为已知量，试推出满足条件t₁的表达式得：t1=

L

v0

+

m

qB0

；
（3）磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小：T=

6L

v0

，小球运动一个周期的轨迹如上图所示．

点评：考查粒子受到电场力与洛伦兹力作用，涉及匀速直线运动与匀速圆周运动，掌握平衡方程与牛顿第二定律的方程，注意几何知识在题中的应用，并掌握运动轨迹的对称性．