Question

（2008?武汉一模）如图所示，间距为l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连接，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为υ₁、b的速度为υ₂．不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：
（1）t时刻C的加速度值；
（2）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率．

Answer 1

分析：（1）a、b两棒都切割磁感线产生感应电动势，根据E=Bl（v₁-v₂）求出回路中总的感应电动势，由欧姆定律求得感应电流I，由F=BIL求出棒a、b所受的安培力大小，根据牛顿第二定律分别研究棒b、a和C物体，可求解加速度．
（2）单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能．根据功能关系进行分析计算．

解答：解：（1）根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势：
E=

△?

△t

=Bl(υ1-υ2)…①
回路中感应电流：I=

E

2R

…②
以a为研究对象，根据牛顿第二定律得：T-BIl=ma…③
以C为研究对象，根据牛顿第二定律得：Mg-T=Ma…④
联立以上各式解得：a=

2MgR-B2l2(υ1-υ2)

2R(M+m)

（2）解法一：单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能，所以，t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率，即为：
P=BIlυ1=

B2l2(υ1-υ2)?υ1

2R

解法二：a棒可等效为发电机，b棒可等效为电动机
a棒的感应电动势为：E_a=Blv₁ …⑤
闭合回路消耗的总电功率为：P=IE_a …⑥
联立①②⑤⑥解得：P=BIlυ1=

B2l2(υ1-υ2)?υ1

2R

解法三：闭合回路消耗的热功率为：P热=

E2

2R

=

B2l2(v1-v2)2

2R

b棒的机械功率为：P机=BIl?v2=

B2l2(v1-v2)v2

2R

故闭合回路消耗的总电功率为：P=P_热+P_机=

B2l2(υ1-υ2)?υ1

2R

答：（1）t时刻C的加速度值为

2MgR-B2l2(v1-v2)

2R(M+m)

；
（2）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率为

B2l2(υ1-υ2)?υ1

2R

．

点评：本题综合考查了法拉第电磁感应定律以及电磁感应中的能量守恒．关键理清导体棒的运动情况，选择合适的定律进行求解．