Question

如图所示，相距为L的两根竖直的足够长的光滑导轨MN、PQ，M、P之间接一阻值为R的定值电阻，金属棒ab质量为m，与导轨接触良好．整个装置处在方向垂直纸面向里水平匀强磁场中，金属棒和导轨电阻不计．现让ab棒由静止释放，经时间t达稳定状态，此时ab棒速度为v；
（1）请证明导体棒运动过程中，克服安培力的功率等于电路中的电功率．
（2）若m=0.2kg，L=0.5m，R=lΩ，v=2m/s，棒从开始释放到稳定状态过程中流过棒电量为0.5C，求磁感应强度B大小以及棒从开始到达到稳定状态下落的高度h．（g取10m/s²）
（3）接第（2）问，若棒从开始到达到稳定状态所用时间t=2s，求流过电阻R的电流有效值．（结果可保留根号）

Answer 1

分析：（1）根据 E=BLv、I=

E

R

、F=BIL、P=Fv推导出克服安培力的功率．电路中的电功率P=

E2

R

．从而进行证明．
（2）稳定时，棒做匀速直线运动，根据平衡条件和安培力公式列式求解B．根据感应电量q=

△Φ

R

，△Φ=BLh，可求出h．
（3）根据能量守恒定律求出棒产生的热量，由Q=I²Rt求解流过电阻R的电流有效值．

解答：解：（1）ab边切割磁感线产生的电动势为 E=BLv
通过线框的电流为 I=

E

R

ab所受的安培力 F=BIL
克服安培力的功率 P_安=Fv
联立得：P_安=

B2L2v2

R

；
电路中的电功率 P_电=

E2

R

=

(BLv)2

R

=

B2L2v2

R

故得：P_安=P_电，所以导体棒运动过程中，克服安培力的功率等于电路中的电功率．得证．
（2）ab棒稳定时，匀速运动，受力平衡，则得：
  mg=BIL
又 I=

BLv

R

则得：B=

mgR L2v

=

0.2×10×1 0．52×2

T=2T
流过棒电量：q=

.

I

△t，
又

.

I

=

. E

R

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLh
联立得：q=

BLh

R

得：h=

qR

BL

=

0.5×1

2×0.5

=0.5m．
（3）设ab中产生的热量Q．
根据能量守恒定律得：Q+

1

2

mv2=mgh
得：Q=mgh-

1

2

mv2=（0.2×10×0.5-

1

2

×0.2×22）J=0.6J
由Q=I²R?t得：I=

Q Rt

=

0.6 1×2

A=

30

10

A
答：（1）证明略．（2）磁感应强度B大小是2T，棒从开始到达到稳定状态下落的高度h是0.5m．（3）流过电阻R的电流有效值为

30

10

A．

点评：解决该题关键要熟练推导安培力与速度的关系式，掌握感应电量公式q=

△Φ

R

，并运用此公式求h．把握各个量之间的关系，选择相关的物理规律求解．