Question

内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在细圆管中有两个直径略小于细圆管管径的小球（可视为质点）A和B，质量分别为m₁和m₂，它们沿环形圆管（在竖直平面内）顺时针方向运动，经过最低点时的速度都是v₀；设A球通过最低点时B球恰好通过最高点，此时两球作用于环形圆管的合力为零，那么m₁、m₂、R和v₀应满足的关系式是______．

Answer 1

（1）A球通过最低点时，作用于环形圆管的压力竖直向下，根据牛顿第三定律，A球受到竖直向上的支持力N₁，由牛顿第二定律，有：
N1-m1g=m1

v02

R

…①
由题意知，A球通过最低点时，B球恰好通过最高点，而且该时刻A、B两球作用于圆管的合力为零；可见B球作用于圆管的压力肯定竖直向上，根据牛顿第三定律，圆管对B球的反作用力N₂竖直向下；假设B球通过最高点时的速度为v，则B球在该时刻的运动方程为：
N2+m2g=m2

v2

R

…②
由题意有：N₁=N₂…③
得：m1g+m2g=

m2v2

R

-

m1v02

R

…④
对B球运用机械能守恒定律有：

1

2

m2v02=

1

2

m2v2+2m2gR…⑤
解得：v2=v02-4gR…⑥
⑥式代入④式可得：(m1+5m2)g+(m1-m2)

v02

R

=0．
故答案为：(m1+5m2)g+(m1-m2)

v02

R

=0．