Question

在D型盒回旋加速度器中，高频交变电压（假设为右图所示的方形波）加在a板和b板间，带电粒子在a、b间的电场中加速，电压大小为U=800V，在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁感应强度大小B=0.628T，a板与b板间的距离d=0.1mm，被加速的粒子为质子，质子的质量约为m=1.6×10^-27kg，电荷量为q=1.6×10^-19C．t=0时刻，静止的质子从靠近a板的P点开始第1次加速，t=T/2时刻恰好第2次开始加速，t=T时刻恰好第3次开始加速，…，每隔半个周期加速一次．（每一次加速的时间与周期相比可以忽略，不考虑相对论中因速度大而引起质量变化的因素）

（1）求交变电压的周期T．
（2）求第900次加速结束时，质子的速度多大？
（3）虽然每一次的加速时间可以忽略，但随着加速次数的增多，在电场中运动的时间累积起来就不能忽略了．求第n次完整的加速过程结束时质子在ab间电场中加速运动的总时间t（用相关物理量的字母符号如U、d…表示，不需代入数值）

Answer 1

分析：（1）交变电压的周期与磁场中运动周期相等，代入数据，即可求解；
（2）根据动能定理，即可求解；
（3）可以把n次加速的过程看成一个一次性加速过程，根据牛顿第二定律与运动学公式，即可求解．

解答：解：
（1）交变电压的周期T恰等于质子在磁场中圆周运动的周期，即
T=

2πm

qB

①
代入得T=

2×3.14×1.6×10-27

1.6×10-19×0.628

s=1.0×10^-7s  ②
（2）对900次加速的整个过程应用动能定理
NqU=

1

2

mV2③
得V=

2NqU m

=

2×900×1.6×10-19×800 1.6×10-27

m/s=1.2×10⁷m/s    ④
（3）每次加速都是一个匀加速过程，而在磁场中速率不变，所以可以把n次加速的过程看成一个一次性加速过程．
对整个应用牛顿第二定很和运动学公式

qU

d

=ma⑤
得a=

qU

md

⑥
nd=

1

2

(

qU

md

)t加2⑦
得t_加=d

2nm qU

⑧
答：（1）则交变电压的周期1.0×10^-7s．
（2）则第900次加速结束时，质子的速度1.2×10⁷m/s；
（3）虽然每一次的加速时间可以忽略，但随着加速次数的增多，在电场中运动的时间累积起来就不能忽略了．则第n次完整的加速过程结束时质子在ab间电场中加速运动的总时间d

2nm qU

．

点评：考查粒子在磁场中运动的周期公式，掌握动能定理、牛顿第二定律与运动学公式的应用，建立正确的物理模型，注意动能定理中的功的正负．
当然第三小问，也可以这样解：先求第n次加速后的速度V_n=

2nqU m

；应用动量定理

qU

d

t加=mvn；得t_加=

mVnd

qU

=d

2nm qU

．