Question

（2013?黄浦区二模）如图（a）所示，斜面倾角为37°，一宽为d=0.43m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与斜面底边平行．在斜面上由静止释放一长方形金属线框，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行．取斜面底部为零势能面，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移s之间的关系如图（b）所示，图中①、②均为直线段．已知线框的质量为m=0.1kg，电阻为R=0.06Ω，重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求金属线框与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）求金属线框刚进入磁场到恰完全进入磁场所用的时间t；
（3）求金属线框穿越磁场的过程中，线框中产生焦耳热的最大功率P_m；
（4）请在图（c）中定性地画出：在金属线框从开始运动到完全穿出磁场的过程中，线框中感应电流I的大小随时间t变化的图象．

Answer 1

分析：（1）对于图象①直线段，金属线框未进入磁场过程，根据功能原理可知，金属线框减少的机械能等于克服摩擦力所做的功，读出线框的位移大小和机械能的减小量，即可求出动摩擦因数μ；
（2）对于图象②直线段，金属线框进入磁场的过程中，减小的机械能等于克服摩擦力和安培力所做的功，因机械能均匀减小，安培力也为恒力，可知线框做匀速运动．
先牛顿第二定律和运动学公式结合求出线框刚进入磁场时速度大小．由读出此过程机械能的减小量，由功能关系求出线框进入磁场过程运动的距离，即可求得时间t；
（3）线框完全进入磁场后做匀加速运动，出磁场时做减速运动，可知框出刚出磁场时速度最大，产生的感应电流最大，线框内的焦耳热功率最大．由运动学公式求出刚出磁场时的速度大小，根据刚进磁场时线框匀速运动，由平衡条件求出BL，由功率公式即可求出线框中产生焦耳热的最大功率P_m；
（4）分段画出感应电流I的大小随时间t变化的图象．

解答：解：（1）根据功能原理可知，金属线框减少的机械能=克服摩擦力所做的功
△E₁=W_f1=μmgcos37°s₁
其中s₁=0.36m，△E₁=（0.900-0.756）J=0.144J
可解得μ=0.5
（2）金属线框进入磁场的过程中，减小的机械能等于克服摩擦力和安培力所做的功，机械能仍均匀减小，因此安培力也为恒力，故线框做匀速运动．
由v₁²=2a s₁，其中a=gsin37°-μgcos37°=2m/s²
可解得线框刚进磁场时的速度大小为：υ₁=1.2m/s
△E₂=W_f2+W_A=（f+F_A）s₂
由图知：△E₂=（0.756-0.666）J=0.09J，f+F_A=mgsin37°=0.6N，s₂为线框的侧边长，即线框进入磁场过程运动的距离，可求出s₂=0.15m
故t=

s2

v1

=

0.15

1.2

 s=0.125s
（3）线框出刚出磁场时速度最大，线框内的焦耳热功率最大，且 P_m=I²R=

B2L2 v 2 2

R

由v₂²=v₁²+2a（d-s₂）可求得v₂=1.6 m/s
根据线框匀速进入磁场时，F_A+μmgcos37°=mgsin37°，
可求出F_A=0.2N，
又因为 F_A=BIL=

B2L2v1

R

，可求出B²L²=0.01T²m²
将υ₂、B²L²的值代入P_m=

B2L2 v 2 2

R

，可求出P_m=0.43W
（4）图象如图所示．
答：（1）求金属线框与斜面间的动摩擦因数μ是0.5；
（2）金属线框刚进入磁场到恰完全进入磁场所用的时间t为0.125s；
（3）金属线框穿越磁场的过程中，线框中产生焦耳热的最大功率P_m是0.43W．
（4）定性地画出：在金属线框从开始运动到完全穿出磁场的过程中，线框中感应电流I的大小随时间t变化的图象如图所示．

点评：解决本题的关键能通过图象分析出物体的运动状况：先做匀加速，再做匀速，接着做匀加速．以及能对线框进行正确的受力分析和熟练运用运动学公式．