Question

（2011?静安区一模）如图1所示，相距为L的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为α，导轨一部分处在垂直导轨平面的匀强磁场中，OO′为磁场边界，磁感应强度为B，导轨右端接有定值电阻R，导轨电阻忽略不计．在距OO′为L处垂直导轨放置一质量为m、电阻不计的金属杆ab．
（1）若ab杆在平行于斜面的恒力作用下由静止开始沿斜面向上运动，其速度平方一位移关系图象如图2所示，图中v₁和v₂为已知．则在发生3L位移的过程中，电阻R上产生的电热Q₁是多少？
（2）ab杆在离开磁场前瞬间的加速度是多少？
（3）若磁感应强度B=B₀+kt（k为大于0的常数），要使金属杆ab始终静止在导轨上的初始位置，试分析求出施加在ab杆的平行于斜面的外力．

Answer 1

分析：从能量守恒的角度判断：ab杆在拉力作用下通过磁场区域时，拉力做的功等于杆克服重力做的功和杆动能的增量以及电路中电阻放出的焦耳热之和；ab杆离开磁场瞬间可以求出杆所受的安培力，对杆受力分析，根据牛顿第二定律可以求出杆的加速度a．
当磁场按B=B₀+kt规律变化时，由于ab静止在导轨上的初始位置，表示出感应电动势，由平衡条件求解．

解答：解：（1）物体的位移为3L，在0--L段，恒力F、重力mg及安培力F_安对物体做功，安培力的功等于电阻上产生的电热Q₁，
由动能定理：F L-mg L sinα+W_安=

1

2

mv₁²                      
而：W_安=-Q₁                                             
在L--3L段，由动能定理得：
（F-mgsinα）2L=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²                              
解得：Q₁=

1

4

m（v₂²-3v₁²）                                     
（2）ab杆在离开磁场前瞬间，沿轨道方向受重力分力mg sinα、安培力F_安和恒力F作用．
F_安=

B2L2v1

R

a=

F-mgsinα-F安

m

解得：a=

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v1

mR

（3）当磁场按B=B₀+kt规律变化时，由于ab静止在导轨上的初始位置，
所以感应电动势为：E=

△Φ

△t

=kL²，
安培力为：F_安=BIL=

(B0+kt)kL3

R

由平衡条件得：F-mgsinα+F_安=0
解得：F=mgsinα-

(B0+kt)kL3

R

①若mgsinα≤

kL3

R

B0时，F的方向沿斜面向下．                    
②若mgsinα＞

kL3

R

B0时，F的方向先沿斜面向上；                   
当经过t=

mgRsinα

k2L3

-

B0

k

时，F的方向又将变为沿斜面向下．  
答：（1）在发生3L位移的过程中，电阻R上产生的电热Q₁是=

1

4

m（v₂²-3v₁²）    
（2）ab杆在离开磁场前瞬间的加速度是

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v1

mR

（3）若mgsinα≤

kL3

R

B0时，F的方向沿斜面向下，若mgsinα＞

kL3

R

B0时，F的方向先沿斜面向上；                
当经过t=

mgRsinα

k2L3

-

B0

k

时，F的方向又将变为沿斜面向下．

点评：正确的对杆运动过程中分析，判断杆在哪个过程中能量守恒？在哪个过程中满足动能定理？并能根据相应的定则和定律列方程求解是解决本题的关键．