Question

神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成,两星视为质点,不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如下图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.

(1)可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力,设A和B的质量分别为m₁、m₂,试求m′(用m₁、m₂表示)；

(2)求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式;

(3)恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量m_s的2倍,它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×10⁵ m/s,运行周期T=4.7π×10⁴ s,质量m₁=6m_s,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗?

(G=6.67×10^-11 N·m²/kg²,m_s=2.0×10³⁰ kg)

Answer 1

解析：(1)设A、B圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω.由牛顿运动定律，有

    F_A=m₁ω²r₁  F_B=m₂ω²r₂  F_A=F_B

    设A、B之间的距离为r,又r=r₁+r₂，由上述各式得:            ①

    由万有引力定律，有

   

    将①代入得

   

    令

    比较可得

                                              ②

(2)由牛顿第二定律，有

                                            ③

    又可见星A的轨道半径

                                                   ④

    由②③④式解得

                                        ⑤

(3)将m₁=6m_s代入⑤式，得

   

    代入数据得

                                     ⑥

    设m₂=nm_s(n＞0),将其代入⑥式，得

                        ⑦

    可见，的值随n的增大而增大.

    试令n=2,得

    =0.125m_s＜3.5m_s                           ⑧

    若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m_s,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.

答案：(1)  (2)

(3)暗星B有可能是黑洞