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如图甲所示,平行金属板A和B的距离为d,紧贴它们的右端安放着垂直于金属板的绝缘靶MN,AB板间的中线OP交MN于P点,现在A、B板上加上如图所示的方形波电压,电压的正向值为U0,反向电压为
U02
,且每隔T/2换向一次,现有质量为m的带正电q的连续粒子束从AB的中点O以平行于金属板的方向射入.设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在AB间的飞行时间均为T,不计重力的影响.
(1)要使粒子能全部打在靶MN上,试讨论电压U0的数值与m、d、q、T应满足的关系.
(2)求靶MN上被粒子击中的范围.
分析:带电粒子在水平方向做匀速直线运动,竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动.当粒子在0,T,2T,…nT时刻进入电场中时,粒子将打在O′点下方最远点,粒子在竖直方向先向下做匀加速运动,后做匀减速运动.根据牛顿第二定律求出加速度,由位移公式分别求出前
T
2
时间内和后
T
2
时间内,粒子在竖直方向的位移,再粒子打在距O′点正下方的最大位移.当粒子在
T
2
3T
2
,…(2n+1)
T
2
时刻进入电场时,将打在O′点上方最远点.粒子在竖直方向先向上做匀加速运动,后做匀减速运动.同理求出粒子打在距O′点正上方的最大位移.
要使粒子能全部打在靶上,粒子在竖直方向距O′点的最大位移小于
d
2
.代入(1)问的结论,求解电压U0的数值应满足的条件.
解答:解:带电粒子在水平方向做匀速直线运动,竖直方向在电场力的作用下做匀变速运动.粒子打在靶MN上的范围,就是粒子在竖直方向所能到达的范围.
(1)当粒子在0,T,2T,…nT时刻进入电场中时,粒子将打在O′点下方最远点,在前
T
2
时间内,粒子在竖直向下的位移为:
s1=
1
2
a1(
T
2
)2
=
qU0T2
8md

在后
T
2
时间内,粒子在竖直向下的位移为:s2=v?
T
2
-
1
2
a2(
T
2
)2

v=a1?
T
2
=
qU0
2md
,代入上式得:s2=
3qU0T2
16md

故粒子打在距O′点正下方的最大位移为s=s1+s2=
5qU0T2
16md

当粒子在
T
2
3T
2
,…(2n+1)
T
2
时刻进入电场时,…(2n+1)
T
2
时刻进入电场时,将打在O′点上方最远点.
在前
T
2
时间内,粒子在竖直向上的位移为:
s1′=
1
2
a1′(
T
2
)2
=
qU0T2
16md

在后
T
2
时间内,粒子在竖直向上的位移为:
s2′=v′
T
2
-
1
2
a2(
T
2
)2

其中v′=a1
T
2
=
qU0T
4md
a2′=
qU0
md
,代入上式得:s2′=0,
故粒子打在距O′点正上方的最大位移为:s′=s1′+s2′=
qU0T2
16md

所以击中的范围在P以下
5qU0
16md
T2
到P以上
qU0
16md
T2

要使粒子能全部打在靶上,须有
5qU0T2
16md
d
2
,解得U0
8md2
5qT2

答:(1)为了保证粒子全部打在MN上U0
8md2
5qT2

(2)击中的范围在P以下
5qU0
16md
T2
到P以上
qU0
16md
T2
点评:本题是粒子在周期性变化的电场中运动,分析带电粒子的运动情况是关键.结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解.
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(2009?潍坊模拟)如图甲所示,平行金属导轨竖直放置,导轨间距为L=1m,上端接有电阻R1=3Ω,下端接有电阻R2=6Ω,虚线OO′下方是垂直于导轨平面的匀强磁场.现将质量m=0.1kg、电阻不计的金属杆ab,从OO′上方某处垂直导轨由静止释放,杆下落0.2m过程中始终与导轨保持良好接触,加速度a与下落距离h的关系图象如图乙所示.求:
(1)磁感应强度B;
(2)杆下落0.2m过程中通过电阻R2的电荷量q.

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qU0T3md
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(3)若要使射出电场的粒子经某一垂直纸面的圆形区域匀强磁场偏转后,都能通过圆形磁场边界的一个点处,而便于再收集,则磁场区域的最小半径和相应的磁感强度是多大?

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(1)磁感应强度B;
(2)杆下落0.2m过程中通过金属杆的电荷量q.

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3
2
,两棒在导轨之间部分的电阻均为R=0.1Ω,导轨电阻不计.现将整个装置置于垂直于轨道平面向上的匀强磁场中,磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示.设两棒与导轨问的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力,两棒横截面的边长远小于它们之间的距离,忽略两棒上电流之间的相互作用,g取10m/s2
(1)两金属棒都未出现滑动之前,闭合回路中的电流多大?金属棒ab中电流方向如何?
(2)哪个金属棒先发生滑动?是在哪一时刻?
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