Question

如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波电压，t=0时A板比B板的电势高．电压的正向值为U₀，反向值也为U₀，现有由质量为m电量为+q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板中轴OO′线的速度v₀=

qU0T

3md

不断射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响．试求：
（1）粒子射出电场时位置离中轴线OO′的距离范围
（2）粒子射出电场时的速度
（3）若要使射出电场的粒子经某一垂直纸面的圆形区域匀强磁场偏转后，都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感强度是多大？

Answer 1

分析：（1）粒子进入电场后水平方向做匀速直线运动，竖直方向先做匀加速运动后做匀减速运动，粒子由t=nT时刻进入电场，向下侧移最大，由牛顿第二定律和运动学结合求出最大侧移．粒子由t=nT+

2

3

T时刻进入电场，向上侧移最大，再求出此侧移，即可得到范围．
（2）粒子在打出粒子的速度都是相同的，由速度合成法求解．
（3）要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，即可得到磁场区域的最小半径．粒子进入匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力，可牛顿第二定律求出相应的磁感强度．

解答：解：（1）当粒子由t=nT时刻进入电场，向下侧移最大，（n=0，1，2…）则：
s₁=

1

2

a(

2T

3

)2+a(

2T

3

)?

T

3

-

1

2

a(

T

3

)2，a=

qU0

md

解得：s₁=

7qU0T2

18md

当粒子由t=nT+

2

3

T时刻进入电场，向上侧移最大，则：
s2=

1

2

a(

T

3

)2
解得：s2=

qU0T2

18md

所以，在距离O′中点下方

7qU0T2

18md

至上方

qU0T2

18md

范围内有粒子打出． 
（2）打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为 v_y=a?

T

3

所以打出速度大小为 v=

v 2 0 + v 2 y

解得 v=

2 qU0T

3md

设速度方向与v₀的夹角为θ，则 tanθ=

vy

v0

=1，得θ=45°
（3）要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，粒子宽度D=（s₁+s₂）cos45°     
故磁场区域的最小半径为  r=

D

2

=

2 qU0T2

9md

粒子在磁场中作圆周运动 qvB=m

v2

r

解得 B=

3m

qT

答：（1）粒子射出电场时位置离中轴线OO′的距离范围为距离O′中点下方

7qU0T2

18md

至上方

qU0T2

18md

范围内．
（2）粒子射出电场时的速度大小为

2 qU0T

3md

，速度方向与v₀的夹角为45°．
（3）磁场区域的最小半径为

2 qU0T2

9md

，相应的磁感强度是

3m

qT

．

点评：本题分析粒子的运动情况，确定粒子什么时刻进入电场时，偏转距离最大是关键．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何知识求出半径．