Question

如图所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面相垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B．放开盘让其自由转动，问：
（1）当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
（2）A球转到最低点时的线速度是多少？
（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？

Answer 1

分析：（1）重力势能的变化量等于重力做功的数值．A球的重力势能减小，B的重力势能增加．
（2）两球组成的系统，在转动过程中，只有重力做功，机械能守恒．两小球的角速度相等，应用机械能守恒定律或动能定理可以求出小球转到最低点时的线速度．
（3）在OA向左偏离竖直方向偏角最大时，小球速度为零，由机械能守恒定律可以求出最大偏角．

解答：解：（1）当A球转到最低点时，A的重力势能减小mgr，B的重力势能增加mg

r

2

，所以两小球的重力势能之和减少为△E_P=mgr-mg

r

2

=

1

2

mgr
（2）取圆盘最低处的水平面势能为零，
由机械能守恒定律可得：mgr=mg

r

2

+

1

2

m（ωr）²+

1

2

m（ω×

r

2

）²，
又 v_A=ωR，
解得v_A=

0.8gr

（3）设 OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ，
由系统机械能守恒定律 得
  mgr×cosθ-mg

r

2

×（1+sinθ ）=0
得 2cosθ=1+sinθ，
4（1-sin2θ）=1+2sinθ+sin2θ，
5sin2θ+2sinθ-3=0
sinθ=0.6
∴θ=37°
答：
（1）当A球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了

1

2

mgr．
（2）A球转到最低点时的线速度是

0.8gr

．
（3）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是37°．

点评：应用机械能守恒定律即可正确解题，应用数学知识解决物理问题是本题的难点，要注意数学知识的应用．