Question

如图所示，在平面坐标xoy内，在y轴左侧与直线x=-2L右侧区域内存在沿y轴正方向的匀强电场，在y轴右侧存在一矩形匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向外（图中未画出），坐标原点O为磁场边界上一点，一带电粒子从电场边界上Q（-2L，-L）点以速度v₀沿x轴正方向射入电场，并恰好从坐标原点O进入磁场，在磁场中作半径为

2

L的匀速圆周运动，最后又恰好垂直y轴返回电场并从P点离开电场．不计粒子重力，求：（计算结果可以保留根号）
（1）粒子经过O点时速度的大小和方向；
（2）电场强度与磁感应强度大小之比；
（3）粒子由Q点到P点所用的时间．

Answer 1

分析：（1）粒子做类平抛运动，根据分位移公式列式求解两个分速度，合成得到合速度的大小和方向；
（2）先对粒子的类平抛运动根据分位移公式列式；再对粒子的匀速圆周运动过程根据牛顿第二定律列式，最后联立求解即可；
（3）粒子在电场中是类似平抛运动，在磁场中是匀速圆周运动，最后垂直y轴返回电场区域，故矩形磁场区域与坐标轴不平行；根据t=

θ

360°

T求解磁场中的运动时间，运用正交分解法求解电场中的运动时间，最后求和即可．

解答：解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据分位移公式，有：
x方向：2L=v₀t
y方向：L=

0+vy

2

t
解得：v_y=v₀
故离开电场时的合速度：v=

v 2 x + v 2 y

=

2

v0，与x轴成45°斜向右上方；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，根据分位移公式，有：
x方向：2L=v₀t
y方向：L=

1

2

?

qE

m

?t²
解得：E=

m v 2 0

2qL

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
qvB=m

v2

r

其中：r=

2

L
B=

mv

qr

=

m? 2 v0

q? 2 L

=

mv0

qL

故：

E

B

=

m v 2 0 2qL

mv0 qR

=

v0

2

（3）粒子在电场中是类似平抛运动，在磁场中是匀速圆周运动，轨迹如图：

粒子Q到O的时间为：t₁=

2L

v0

粒子由O到离开磁场的时间：t₂=

225°

360°

T=

5

8

T
其中：T=

2πm

qB

=

2πL

v0

故：t₂=

5

8

×

2πL

v0

=

5πL

4v0

粒子返回电场后是平抛运动，根据其水平分运动得到：
t₃=

2L+r?sin45°

v

=

2L+ 2 × 2 2 L

2 v0

=

3 2

2

L

v0

故粒子由Q点到P点所用的时间为：
t=t₁+t₂+t₃=

2L

v0

+

5πL

4v0

+

3 2

2

L

v0

=(8+6

2

+5π)

L

4v0

答：（1）粒子经过O点时速度的大小为

2

v0，与x轴成45°斜向右上方；
（2）电场强度与磁感应强度大小之比为

v0

2

；
（3）粒子由Q点到P点所用的时间为(8+6

2

+5π)

L

4v0

．

点评：本题关键明确粒子的运动规律，然后分类平抛运动和匀速圆周运动分段考虑，类似平抛运动是根据分位移公式列式求解，匀速圆周运动是根据牛顿第二定律列式，不难．