Question

（2013?河南模拟）如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ω₀，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．关于AB两卫星的下列叙述正确的是（　　）

• A．同步卫星A的高度是B的2倍必等于2h
• B．B的周期应为T_B=2π

  (R+h)3 gR2

• C．A、B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），他们再一次相距最近，则至少经过时间t=

  2π

  gR2 (R+h)3 -ω0

• D．A、B两卫星的线速度之比：

  3	gω0R2

  ：

  gR2 R+h

Answer 1

分析：A、由万有引力提供向心力的角速度表达式，以及黄金代换，联立可以表示同步卫星的轨道半径，与B的比较无法得到具体倍数关系．
B、由万有引力提供向心力的周期表达式可得B的周期．
C、AB再次相遇的话，B比A多转一周，由此可确定再次相遇需要经过的时间．
D、由万有引力提供向心力可以表示同步卫星的轨道半径，进而可确定A的线速度，由B的角速度或周期可得B的线速度，进而确定AB的线速度比值．

解答：解：
A、对同步卫星，由万有引力提供向心力：
G

Mm

r2

=mrω02
再由黄金代换：
gR²=GM
解得：
r=

3	gR2 ω02

可知其离地高度为：
h′=r=

3	gR2 ω02

-R
无法比较与B的高度关系．
故A错误
B、对B由万有引力定律和向心力公式得：
 G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

TB2

①
对地面物体由万有引力等于重力可得：
G

Mm

R2

=mg             ②
联立①②得：
TB=2π

(R+h)3 gR2

故B正确．
C、AB再次相遇的话，B比A多转一周：

t

2π ω 0

-

t

2π ω

=1
又：
 ωB=

2π

TB

=

gR2 (R+h)3

代入上式得：
t=

2π

gR2 (R+h)3 -ω0

故C正确．
D、由万有引力提供向心力：
G

Mm

r2

=mrω02
再由黄金代换：
gR²=GM
解得：
r=

3	gR2 ω02

故A的线速度为：
vA=rω0=

3	gω0R2

B的线速度为：
vB=(R+h)ωB=

gR2 R+h

故AB线速度比为：

3	gω0R2

：

gR2 R+h

故D正确．
故选：BCD

点评：本题要求熟练应用万有引力提供向心力的各种表达形式，熟练掌握圆周运动的各个公式，题目难度较大．