Question

（2008?荆州一模）已知月球的质量约为地球质量的

1

81

，半径约为地球半径的

1

3.6

．一宇航员在月球上用一根长为l的轻质细绳一端挂住一个质量为m的小球，另一端固定于空间一点，细绳自由下垂后，他给小球-个水平方向的冲量I₀．使小球获得一水平初速度后，在竖直平面内运动，要使小球在向上摆动的过程中，细绳松弛，则宇航员所给小球的水平冲量I₀的范围为多大（设地球表面的重力加速度为g）？

Answer 1

分析：要使小球在向上摆动的过程中细绳能够松弛，首先要保证小球能够过与悬挂点等高处，其次要保证小球最多恰能经过最高点；然后根据机械能守恒定律和向心力公式列式求解．

解答：解：设月球表面的重力加速度为g′，地球表面重力加速度为g，则
G

mM地

R 2 地

=mg
G

mM月

R 2 月

=mg′
∴g′=

4

25

g；                                                    
要使小球在向上摆动的过程中，细绳会松驰，必有小球作圆弧运动到与固定等高处时速度v₁≥0，且在小球在固定点上方l处的速度满足mg≥m

v 2 2

l

；
而I₀=mv₀，E_K0=

1

2

m

v

2 0

=

I 2 0

2m

∴

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+mgl

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 2

+2mgl            
联立解得：

2m 2gl

5

≤I0≤

2m 5gl

5

．
答：宇航员所给小球的水平冲量I₀的范围为

2m 2gl

5

≤I0≤

2m 5gl

5

．

点评：本题关键抓住两个临界状态：恰好过与悬点等高位置以及恰好经过最高点．然后根据机械能守恒定律、向心力公式和牛顿第二定律列式求解．