Question

如图所示，水平放置的平行金属板A和B间的距离为d，板长L=d，B板的右侧边缘恰好是倾斜挡板NM上的一个小孔K，NM与水平挡板NP成60°角，K与N间的距

.

NK

=a．现有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从AB的中点O以平行于金属板方向OO'的速度v₀射入，不计粒子的重力．现在A、B板上加一恒定电压，则该粒子穿过金属板后恰好穿过小孔K．
（1）求A、B板上所加的恒定电压大小．
（2）求带电粒子到达K点的速度．
（3）在足够长的NM和NP两档板所夹的某一区域存在一垂直纸面向里的匀强磁场，使粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板NP上（之前与挡板没有碰撞），求该磁场的磁感应强度的最小值B_min．

Answer 1

分析：（1）带电粒子做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式即可求解；
（2）先求出射入的粒子，在进入K时竖直方向的分速度，再求出水平速度，根据速度的合成法则求出和速度；
（3）粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP．粒子作圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，结合几何关系即可求解．

解答：解：（1）带电粒子做类平抛运动，则：L=v₀t    ①（1分）

d

2

=

1

2

at2  ②（1分）
a=

qU

md

③（1分）
把L=

3

d代入①②③式可得：U=

md2v02

qL2

=

mv02

3q

④
（2）射入的粒子，在进入K时竖直方向的分速度为v_y，则：

d

2

=

vyt

2

 ⑤
水平方向：L=

3

d=v0t⑥（1分）
得：tanθ=

vy

v0

=

3

3

⑦（1分）
v=

v02+vy2

=

2 3

3

v0⑧
则θ=30°⑨，即粒子垂直MN板入射．
（3）如图所示，粒子从K点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板NP，则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到NP．
粒子作圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即
Bqv=

mv2

r

⑩
可得B=

mv

qr

要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图所示，根据对称性圆周运动的圆心C、交点G位于∠MNP的角平分线上，则由几何关系可得：
CDKF是边长为r的正方形．则在三角形NCF中，有

3

r=a+r可得r=

a

3 -1

                                      
解得：Bmin=

( 3 -1)mv

qa

=

(6-2 3 )mv0

3qa

答：（1）A、B板上所加的恒定电压大小为

mv02

3q

．
（2）带电粒子到达K点的速度为

2 3

3

v0，粒子垂直MN板入射．
（3）该磁场的磁感应强度的最小值为

(6-2 3 )mv0

3qa

．

点评：本题主要考查了平抛运动、圆周运动的基本公式的应用，要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，要求同学们能结合几何关系求解，难度较大．