Question

如图所示，在xOy坐标系中，第一象限存在一与xOy平面平行的匀强电场，在第二象限存在垂直于纸面的匀强磁场．在y轴上的P点有一静止的带正电的粒子，某时刻，粒子在很短时间内（可忽略不计）分裂成三个带正电的粒子1、2和3，它们所带的电荷量分别为q₁、q₂和q₃，质量分别为m₁、m₂和m₃，且q₁：q₂：q₃=1：1：2，m₁+m₂=m₃．带电粒子1和2沿x轴负方向进人磁场区域，带电粒子3沿x轴正方向进入电场区域．经过一段时间三个带电粒子同时射出场区，其中粒子1、3射出场区的方向垂直于x轴，粒子2射出场区的方向与x轴负方向的夹角为60°．忽略重力和粒子间的相互作用．求：
（1）三个粒子的质量之比；
（2）三个粒子进入场区时的速度大小之比；
（3）三个粒子射出场区时在x轴上的位移大小之比．

Answer 1

分析：（1）根据粒子做匀速圆周运动，由周期公式得出粒子1、2的周期关系，从而可算出两者的质量关系，由题意可求出三粒子的质量之比；
（2）根据粒子做匀速圆周运动，由半径公式可列出半径与运动速度、电量及质量的关系，再根据运动轨迹的几何关系可确定粒子1、2的速度关系．最后由动量守恒从而求出三个粒子进入场区时的速度大小之比；
（3）设三个粒子出去时与x轴的位移，由粒子做的运动轨迹可确定1、2粒子的位移与半径的关系．再根据3粒子沿x轴方向做匀减速运动，由运动学公式可算出其位移大小，最后确定三个粒子射出场区时在x轴上的位移大小之比．

解答：解：（1）设粒子1、2在磁场中做匀速圆周运动的周期分别为T₁和T₂．则有
T1=

2πr1

v1

=

2πm1

Bq1

，
T2=

2πr2

v2

=

2πm2

Bq2

由题意可知：

1

4

T1=

1

6

T2
所以

m1

m2

=

2

3

又因为m₁+m₂=m₃
所以m₁：m₂：m₃=2：3：5
（2）设粒子1、2在磁场中做匀速圆周运动的半径分别为r₁和r₂．则有
r1=

m1v1

Bq1

那么：v1=

r1Bq1

m1

r2=

m2v2

Bq2

  那么：v2=

r2Bq2

m2

由几何关系可知：r₂=2r₁
所以

v1

v2

=

3

4

在粒子分裂的过程中，动量守恒，则
m₃v₃-m₁v₁-m₂v₂=0
所以v₁：v₂：v₃=15：20：18
（3）三个粒子射出场区时在x轴上的位移分别为x₁、x₂和x₃．
由几何关系可知：
x₁=r₁，
x2=

3

r1
粒子3在电场中运动时，沿x轴方向的分运动是：
初速度为v₃的匀减速运动，末速度为0．
设运动时间为t，
则有：x3=

v3

2

?t=

v3

2

?

T1

4

=0.3π?

m1v1

Bq1

=0.3πr1
所以x1：x2：x3=1：

3

：0.3π
答：（1）三个粒子的质量之比为2：3：5；
（2）三个粒子进入场区时的速度大小之比为15：20：18；
（3）三个粒子射出场区时在x轴上的位移大小之比为1：

3

：0.3π．

点评：考查匀速圆周运动与类平抛运动的规律，对于匀速圆周运动借助于周期与半径公式，结合几何知识来确定各量的关系．对类平抛运动，将其分解两方向，运用运动学公式与牛顿第二定律从而求解．同时还体现了动量守恒定律．