Question

如图所示，两个不计厚度的弹性挡板分别固定在水平桌面上A、D的位置，两个大小相同可看作质点的小球质量分别为m₁、m₂，且m₂=5m₁，开始时两球位于B、C的位置，且AB=BC=CD=L，m₂静止，m₁以水平初速度v₀向m₂运动，设两球之间、球与挡板之间的碰撞均没有机械能损失，碰撞时间、所有摩擦均不计．求
（1）m₁和m₂之间发生第一次碰撞后各自的速度大小
（2）经过多长时间两球均回到起始状态．

Answer 1

分析：（1）由题意知，两球之间的碰撞没有机械能损失，遵守动量守恒和机械能守恒，由两大守恒定律列式求解m₁和m₂之间发生第一次碰撞后各自的速度大小．
（2）碰后m₂运动到D位置时，与挡板相碰，以原速率弹回，由运动学公式可求出m₂从C点碰后第一次返回C位置所用的时间．同理可求出m₁从C点碰后第一次返回C位置所用的时间，结果两球在C位置第二次相碰．m₁，m₂第二次碰撞过程是它们在C位置第一次相碰的逆过程，即碰后m₂停在C位置，m₁又以v₀的速度水平向左运动．再根据运动学公式求出m₁从第二次碰后到下一次以水平向右的速度返回B点所用时间，以及m₁第一次碰前从B到C所用时间，即可得解．

解答：解：（1）令v₁、v₂分别表示m₁与m₂第一次碰后两球的速度，规定碰前m₁的速度v₀的方向为正方向．
对m₁、m₂所构成的系统，由动量守恒定律和机械能守恒定律，得：
  m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
 

1

2

m1

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

结合题目情景解得：v₁=-

2

3

v₀ v₂=

1

3

v0
（2）碰后m₂运动到D位置时，与挡板相碰，以原速率弹回，
m₂从C点碰后第一次返回C位置所用时间：t₂=

2L

1 3 v0

=

6L

v0

同理，m₁从C点碰后第一次返回C位置所用时间：t₂′=

4L

2 3 v0

=

6L

v0

故m₂与m₁将在C位置第二次相碰．                                  
m₁，m₂第二次碰撞过程是它们在C位置第一次相碰的逆过程，即碰后m₂停在C位置，m₁又以v₀的速度水平向左运动．
或：令v₁′、v₂′分别表示m₁与m₂第二次碰后两球的速度，对m₁，m₂所构成的系统，仍以v₀的方向为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律，得：
m₁（-v₁）+m₂（-v₂）=m₁ v₁′+m₂ v₂′

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

=

1

2

m1

v′

2 1

+

1

2

m2

v′

2 2

结合题目情景解得：v₁′=-v₀ v₂′=0 
m₁从第二次碰后到下一次以水平向右的速度返回B点所用时间为：t₃=

3L

v0

m₁第一次碰前从B到C所用时间为：t₁=

L

v0

设经过时间T两球均回到起始状态，则有：T=t₁+t₂+t₃=

10L

v0

答：（1）m₁和m₂之间发生第一次碰撞后各自的速度大小分别为

2

3

v₀和

1

3

v0．
（2）经过

10L

v0

时间两球均回到起始状态．

点评：本题是弹性碰撞与匀速运动结合的问题，根据动量守恒、机械能守恒和匀速运动速度公式结合进行求解．