Question

如图所示，光滑半圆形轨道MNP竖直固定在水平面上，直径MP垂直于水平面，轨道半径R=0.5m．质量为m₁的小球A静止于轨道最低点M，质量为m₂的小球B用长度为2R的细线悬挂于轨道最高点P．现将小球B向左拉起，使细线水平，以竖直向下的速度v₀=4m/s释放小球B，小球B与小球A碰后粘在一起恰能沿半圆形轨道运动到P点．两球可视为质点，g=10m/s²．试求
①B球与A球相碰前的速度大小；
②A、B两球的质量之比m₁：m₂．

Answer 1

分析：①B向下摆动过程中只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出两球碰前B球的速度．
②两球碰撞过程动量守恒，两球恰好到达P点，在P点重力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出在B点的速度，然后由动量守恒定律可以求出两球的质量之比．

解答：解：①B球下摆过程中机械能守恒，
由机械能守恒定律得：

1

2

m₂v₀²+m₂g?2R=

1

2

m₂v₁²，
解得：v₁=6m/s；
②两球恰好到达P点，由牛顿第二定律得：
（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）

v 2 P

R

，解得：v_P=

5

m/s，
两球从M到P过程中，由动能定理得：

1

2

（m₁+m₂）v_P²-

1

2

（m₁+m₂）v₂²=-（m₁+m₂）g?2R，
解得：v₂=5m/s；
两球碰撞过程动量守恒，以两球组成的系统为研究对象，
以B球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
m₂v₁=（m₁+m₂）v₂，解得：

m1

m2

=

1

5

；
答：①B球与A球相碰前的速度大小为6m/s；
②A、B两球的质量之比m₁：m₂=1：5．

点评：本题考查了求小球的速度、小球质量之比问题，分析清楚小球运动过程，应用机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律、动量守恒定律即可正确解题．