Question

如图所示，间距为L、光滑的足够长的金属导轨（金属导轨的电阻不计）所在斜面倾角为α，两根同材料、长度均为L、横截面均为圆形的金属棒CD、PQ放在斜面导轨上，已知CD棒的质量为m、电阻为R，PQ棒的圆截面的半径是CD棒圆截面的2倍．磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，两根劲度系数均为k、相同的弹簧一端固定在导轨的下端，另一端连着金属棒CD．开始时金属棒CD静止．现用一恒力平行于导轨所在平面向上拉金属棒PQ，使金属棒PQ由静止开始运动，当金属棒PQ达到稳定时，弹簧的形变量与开始时相同，已知金属棒PQ开始运动到稳定的过程中，通过CD棒的电量为q，此过程可以认为CD棒缓慢地移动，已知题设物理量符合

qRk

BL

=

4

5

mgsinα的关系式．求此过程中
（1）CD棒移动的距离；
（2）PQ棒移动的距离；
（3）恒力所做的功．（要求三问结果均用与重力mg相关的表达式来表示．）

Answer 1

分析：对CD进行受力分析，根据胡克定律求出弹簧开始的压缩量，然后由几何关系求CD移动的距离；
根据回路中通过的电量q=

△φ

R

计算面积的变化，从而计算出PQ移动的距离；
先根据平衡条件求出CD静止时受到的安培力，然后根据W=FS计算功

解答：解：PQ的质量是CD的4倍：m'=4m，PQ电阻是CD的

1

4

，即R′=

R

4

，两棒的总电阻为R₀=

5R

4

，
（1）稳定后弹簧的伸长量等于开始的压缩量：△x=

mgsinα

2k

，CD移动的距离△sCD=2△x=

mgsinα

k

（2）回路中通过的电量q=

.

I

△t=

4BL△s

5R

，△s=

5qR

4BL

，PQ棒沿导轨上滑距离为：△sPQ=△s+△sCD=

5qR

4BL

+

mgsinα

k

=

2mgsinα

k

（3）CD棒静止，受到的安培力为F_B=mgsinα+2F_k=2mgsinα，PQ稳定时，恒力为：
F=F_B+m'gsinα=6mgsinα
恒力所做的功为：W=F△

s

PQ

=6mgsinα?

2mgsinα

k

=

12(mgsinα)2

k

答：（1）CD棒移动的距离为

mgsinα

k

；
（2）PQ棒移动的距离

2mgsinα

k

；
（3）恒力所做的功为

12(mgsinα)2

k

．

点评：本题的关键是结合题目中给出的信息公示求解，要记住非均匀变化的电流通过时电量q=n

△φ

R

计算．