Question

某炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量M为3kg（内含炸药的质量可以忽略不计），炮弹被射出的初速度v₀为60m/s．当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向相向飞行的两片，其中一片质量m为2kg，其炸开瞬间的速度大小是另一片的一半．现要求弹片不能落到以发射点为圆心、以半径R为480m的圆周范围内．假定重力加速度g始终为10m/s²，忽略空气阻力．求刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大？

Answer 1

分析：炮弹竖直向上做匀减速运动，已知初速度v₀为60m/s，由运动学公式求出炮弹上升的最大高度；
炮弹到达最高点时爆炸时，爆炸的内力远大于重力（外力），遵守动量守恒定律；
当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，两片炸弹都做平抛运动．
根据平抛运动的知识求出一片质量m炸弹平抛的初速度，根据动量守恒定律得出另一块炸弹的初速度，从而得出刚爆炸完时两弹片的总动能．

解答：解：设炮弹止升到达最高点的高度为H，
根据匀变速直线运动规律有，

v

2 0

=2gH
解得：H=

v 2 0

2g

=

602

2×10

=180m                                               
设质量为m的弹片刚爆炸后的速度为v，则另一块的速度为v₂=2v
根据动量守恒定律，有mv=（M-m）?2v
运动的时间为t，根据平抛运动规律，有
  H=

1

2

gt2
  R=vt
得 v=R

g 2H

=480

10 2×180

=80m/s                                      
  v₂=2v=160m/s                                                      
炮弹刚爆炸后，两弹片的总动能：
 解以上各式得：Ek=

1

2

mv2+

1

2

(M-m)(2v)2=

1

2

×2×802+

1

2

×1×1602=1.92×104J  
答：刚爆炸完时两弹片的总动能至少为1.92×10⁴J．

点评：本题涉及到竖直上抛运动、平抛运动，综合运用了动量守恒定律、能量守恒定律以及运动学公式，综合性强，关键理清运动过程，选择合适的规律求解．