Question

（2007?徐州一模）如图所示，粒子源S可以不断地产生质量为m、电荷量为+q的粒子（重力不计）．粒子从O₁孔漂进（初速不计）一个水平方向的加速电场，再经小孔O₂进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B₁，方向如图．虚线PQ、MN之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B₂（图中未画出）．有一块折成直角的硬质塑料板abc（不带电，宽度很窄，厚度不计）放置在PQ、MN之间（截面图如图），a、c两点恰在分别位于PQ、MN上，ab=bc=L，α=45°．现使粒子能沿图中虚线O₂O₃进入PQ、MN之间的区域．
（1）求加速电压U₁．
（2）假设粒子与硬质塑料板相碰后，速度大小不变，方向变化遵守光的反射定律．粒子在PQ、MN之间的区域中运动的时间和路程分别是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子源发出的粒子，进入加速电场被加速，根据能的转化和守恒定律能求出加速获得的速度．
粒子经过复合场时，电场力向下，洛伦兹力向上，都与速度垂直，故合力为零，根据平衡条件列式求解加速电压U₁；
（2）粒子进入PQ、MN之间的区域，由于速度方向与磁场方向平行，不受洛伦兹力而做匀速直线运动．粒子与ab板第一次碰撞后，速度向上，洛伦兹力提供向心力，在与ac边垂直的平面内做匀速圆周运动，经过一圈后，与ab边内侧碰撞，碰撞后水平向右运动，与bc边二次碰撞后，在与ac边垂直的平面内做再次匀速圆周运动，又经过一圈后，与b边外侧碰撞，水平向右离开磁场．根据运动轨迹，分匀速直线运动和匀速圆周运动求时间和路程．对于匀速圆周运动，先计算半径和周期，再根据轨迹计算总时间和总路程．

解答：解：（1）粒子源发出的粒子，进入加速电场被加速，速度为v₀，根据能的转化和守恒定律得：qU₁=

1

2

m

v

2 0

                                 
要使粒子能沿图中虚线O₂O₃进入PQ、MN之间的区域，则粒子所受到向上的洛伦兹力与向下的电场力大小相等，
 则 qE=qv₀B
得到 v₀=

E

B1

                                      　　
将②式代入①式，解得 U₁=

mE2

2q B 2 1

                        
（2）粒子从O₃以速度v₀进入PQ、MN之间的区域，先做匀速直线运动，打到ab板上，以大小为v₀的速度垂直于磁场方向运动．粒子将以半径R在垂直于磁场的平面内作匀速圆周运动，转动一周后打到ab板的下部．由于不计板的厚度，所以质子从第一次打到ab板到第二次打到ab板后运动的时间为粒子在磁场运动一周的时间，即一个周期T．
由 qvB₂=

m v 2 0

R

和运动学公式 T=

2πR

v0

，解得 T=

2πm

qB2

                     
粒子在磁场中共碰到2块板，做圆周运动所需的时间为 t₁=2T=

4πm

qB2

．
做圆周运动的路程为 s₁=2?2πR=

4πmE

qB1B2

．
粒子进入磁场中，在v₀方向的总位移s₂=2Lsin45°=

2

L，时间为 t₂=

s2

v0

=

2 B1L

E

，
则 t=t₁+t₂=

4πm

qB2

+

2 B1L

E

，
总路程s=s₁+s₂=

4πmE

qB1B2

+

2

L
答：
（1）加速电压U₁为

mE2

2q B 2 1

．
（2）假设粒子与硬质塑料板相碰后，速度大小不变，方向变化遵守光的反射定律．粒子在PQ、MN之间的区域中运动的时间为

4πm

qB2

+

2 B1L

E

，
路程是

4πmE

qB1B2

+

2

L．

点评：本题中的复合场具有速度选择的功能，进入磁场区域后，根据动力学规律先确定运动轨迹，再进行计算．