Question

理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力作用，具有引力势能．选物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能可表示为Ep=-

GMm

r

（其中G为万有引力常量，M为地球质量，m为物体的质量，r是物体到地心的距离）．现有一质量m′的人造卫星绕地球做圆周运动周期T．若要从地面上将这颗卫星发射成功，则至少需做多少功？（已知地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G，且忽略空气阻力对卫星发射的影响）

Answer 1

分析：根据万有引力等于向心力求出人造卫星的轨道半径，从而得出在轨道上的动能和势能之和，根据能量守恒定律求出至少做功的多少．

解答：解：设卫星绕地球做圆周运动半径r′，牛顿第二定律得：

GMm′

r′2

=m′r′

4π2

T2

=m′

v2

r′

解得r′=

3	GMT2 4π2

，EK=

1

2

mv2=

GMm′

2r′

，在r′轨道上运动具有的机械能为E=EK+EP=

-GMm′

2r′

地面发射须做功W=△E=

GMm/

R

-

GMm/

2 3 GMT2 4π2

．
答：若要从地面上将这颗卫星发射成功，则至少需做功为

GMm/

R

-

GMm/

2 3 GMT2 4π2

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论，以及知道至少做功的多少等于机械能的增量．