Question

如图4-5所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ=30°.一条长为L的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看作质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动.

图4-5

（1）当v=时，求绳对物体的拉力；

（2）当v=时，求绳对物体的拉力.

Answer 1

解析：水平方向：F_Tsinθ-F_Ncosθ=                                        ①

竖直方向：F_Tcosθ+F_Nsinθ=mg                                                    ②

联立①②两式解得：F_N=mgsinθ-

由上可看出当θ、L、m一定时，线速度v越大，支持力F_N越小，当v满足一定条件，设v=v₀时，能使F_N=0，此时锥面与物体间恰好无相互作用，即mgsinθ-=0

v₀=

将θ=30°代入上式得v₀=.

（1）当v₁=＜v₀时，物体在锥面上运动，联立①②两式解得

F_T1=mgcosθ+=1.03mg.

（2）当v₂=＞v₀时，物体己离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为α（α＞θ），物体仅受重力和拉力作用，这时F_T2sinα=    ③

F_T2cosα=mg                                                                    ④

联立③④两式解得cosα=

所以α=60°

F_T2=mgcosα+==2mg.

答案：（1）1.03mg  （2）2mg